La regla de oro de Fermi

Formula that describes the transition rate from one energy eigenstate of a quantum system into other energy eigenstates

En física cuántica , la regla de oro de Fermi es una fórmula que describe la tasa de transición (la probabilidad de una transición por unidad de tiempo) de un estado propio de energía de un sistema cuántico a un grupo de estados propios de energía en un continuo, como resultado de una perturbación débil. . Esta tasa de transición es efectivamente independiente del tiempo (siempre que la fuerza de la perturbación sea independiente del tiempo) y es proporcional a la fuerza del acoplamiento entre los estados inicial y final del sistema (descrito por el cuadrado del elemento de la matriz de la perturbación), así como la densidad de estados. También es aplicable cuando el estado final es discreto, es decir, no forma parte de un continuo, si hay alguna decoherencia en el proceso, como relajación o colisión de los átomos, o como ruido en la perturbación, en cuyo caso la densidad de estados se reemplaza por el recíproco del ancho de banda de decoherencia.

General

Aunque lleva el nombre de Enrico Fermi , la mayor parte del trabajo que conduce a la "regla de oro" se debe a Paul Dirac , quien formuló 20 años antes una ecuación prácticamente idéntica, que incluía los tres componentes de una constante, el elemento de la matriz de la perturbación y una energía. diferencia. ^{[1] [2]} Se le dio este nombre porque, debido a su importancia, Fermi lo llamó "regla de oro No. 2". ^[3]

La mayoría de los usos del término regla de oro de Fermi se refieren a la "regla de oro n. ° 2", sin embargo, la "regla de oro n. ° 1" de Fermi tiene una forma similar y considera la probabilidad de transiciones indirectas por unidad de tiempo. ^[4]

La tasa y su derivación

La regla de oro de Fermi describe un sistema que comienza en un estado propio de una H ₀ hamiltoniana no perturbada y considera el efecto de una H ' hamiltoniana perturbadora aplicada al sistema. Si H ' es independiente del tiempo, el sistema entra solo en aquellos estados del continuo que tienen la misma energía que el estado inicial. Si H ' oscila sinusoidalmente en función del tiempo (es decir, es una perturbación armónica) con una frecuencia angular ω , la transición es a estados con energías que difieren en ħω de la energía del estado inicial.${\displaystyle |i\rangle }$

En ambos casos, la probabilidad de transición por unidad de tiempo desde el estado inicial a un conjunto de estados finales es esencialmente constante. Se da, para una aproximación de primer orden, por${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle |f\rangle }$

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_{f}),}$

donde es el elemento de la matriz (en notación bra-ket ) de la perturbación H ' entre los estados final e inicial, y es la densidad de estados (número de estados continuos dividido por en el intervalo de energía infinitesimalmente pequeño a ) a la energía del estados finales. Esta probabilidad de transición también se denomina "probabilidad de desintegración" y está relacionada con la inversa de la vida media . Por tanto, la probabilidad de encontrar el sistema en estado es proporcional a .${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$${\displaystyle \rho (E_{f})}$${\displaystyle dE}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E+dE}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle e^{-\Gamma _{i\to f}t}}$

La forma estándar de derivar la ecuación es comenzar con la teoría de la perturbación dependiente del tiempo y tomar el límite de absorción bajo el supuesto de que el tiempo de la medición es mucho mayor que el tiempo necesario para la transición. ^{[5] [6]}

Derivación en la teoría de la perturbación dependiente del tiempo

Artículo principal: Teoría de la perturbación (mecánica cuántica) § Teoría de la perturbación dependiente del tiempo Planteamiento del problema La regla de oro es una consecuencia directa de la ecuación de Schrödinger , resuelta al orden más bajo en la perturbación H ' del hamiltoniano. El hamiltoniano total es la suma de un “original” hamiltoniano H 0 y una perturbación: . En la imagen de interacción , podemos expandir la evolución temporal de un estado cuántico arbitrario en términos de estados propios de energía del sistema no perturbado , con .${\displaystyle H=H_{0}+H'(t)}$${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$ Espectro discreto de estados finales Primero consideramos el caso donde los estados finales son discretos. La expansión de un estado en el sistema perturbado en un tiempo t es . Los coeficientes de un n ( t ) todavía son funciones desconocidas de tiempo, produciendo el amplitudes de probabilidad en la imagen Dirac . Este estado obedece a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$ ${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle .}$ Ampliando el hamiltoniano y el estado, vemos que, a primer orden, ${\displaystyle \left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle e^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}$donde E n y | n ⟩ son los valores propios estacionarias y las funciones propias de H 0 . Esta ecuación se puede reescribir como un sistema de ecuaciones diferenciales especificando la evolución temporal de los coeficientes :${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.}$ Esta ecuación es exacta, pero normalmente no se puede resolver en la práctica. Para una perturbación constante débil H ' que se activa en t = 0, podemos usar la teoría de la perturbación. Es decir, si , es evidente que , lo que simplemente dice que el sistema permanece en el estado inicial .${\displaystyle H'=0}$${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$${\displaystyle i}$ Para los estados , se vuelve distinto de cero debido a , y se supone que son pequeños debido a la perturbación débil. El coeficiente que es la unidad en el estado no perturbado tendrá una contribución débil de . Por lo tanto, se puede insertar la forma de orden cero en la ecuación anterior para obtener la primera corrección para las amplitudes :${\displaystyle k\neq i}$${\displaystyle a_{k}(t)}$${\displaystyle H'\neq 0}$${\displaystyle a_{i}(t)}$${\displaystyle H'}$${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$${\displaystyle a_{k}(t)}$ ${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\langle k|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },}$ cuya integral se puede expresar como ${\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=\int \langle k|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{ki}t}dt}$ con , para un estado con a i (0) = 1, a k (0) = 0, pasando a un estado con a k ( t ) . ${\displaystyle \omega _{ki}\equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar }$ La probabilidad de transición del estado inicial (i-ésimo) al estado final (quinto) está dada por ${\displaystyle w_{fi}=|a_{f}(t)|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int \langle f|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t}dt\right|^{2}}$ Es importante estudiar una perturbación periódica con una frecuencia determinada, ya que se pueden construir perturbaciones arbitrarias a partir de perturbaciones periódicas de diferentes frecuencias. Dado que debe ser hermitiano, debemos asumir , donde es un operador independiente del tiempo. La solución para este caso es [7]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle H'(t)}$${\displaystyle H'(t)=Fe^{-\mathrm {i} \omega t}+F^{\dagger }e^{\mathrm {i} \omega t}}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a_{f}(t)=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}-\langle f|F^{\dagger }|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}+\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}+\omega )}}.}$ Esta expresión es válida solo cuando los denominadores en la expresión anterior son distintos de cero, es decir, para un estado inicial dado con energía , la energía del estado final debe ser tal que no solo los denominadores deben ser distintos de cero, sino que tampoco deben serlo. pequeño ya que se supone que es pequeño. ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle E_{f}-E_{i}\neq \pm \hbar \omega .}$${\displaystyle a_{f}}$ Espectro continuo de estados finales Dado que el espectro continuo se encuentra por encima del espectro discreto, y se desprende de la sección anterior, las energías que se encuentran cerca de la energía de resonancia juegan un papel importante , es decir, cuándo . En este caso, es suficiente mantener solo el primer término para . Suponiendo que las perturbaciones se activan desde el tiempo , tenemos entonces${\displaystyle E_{f}-E_{i}>0}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle E_{i}+\hbar \omega }$${\displaystyle \omega _{fi}\approx \omega }$${\displaystyle a_{f}(t)}$${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle a_{f}(t)=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\int _{0}^{t}\langle f|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t}dt=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}-1}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}}$ El módulo al cuadrado de es${\displaystyle a_{f}}$ ${\displaystyle |a_{f}|^{2}=4|\langle f|F|i\rangle |^{2}{\frac {\sin ^{2}(\omega _{fi}-\omega )t/2}{\hbar ^{2}(\omega _{fi}-\omega )^{2}}}}$ Para grandes , esto se reducirá a${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |a_{f}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|F|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-\hbar \omega )t,}$ una dependencia lineal de .${\displaystyle t}$ La probabilidad de transición del estado i a los estados finales que se encuentran en un intervalo (densidad de estados en un elemento infinitesimal alrededor ) es . La probabilidad de transición por unidad de tiempo viene dada por${\displaystyle d\nu _{f}}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle dw_{fi}=|a_{f}|^{2}d\nu _{f}}$ ${\displaystyle {\frac {dw_{fi}}{dt}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|F|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-\hbar \omega )d\nu _{f}.}$ La dependencia del tiempo se ha desvanecido y sigue la tasa de decaimiento constante de la regla de oro. [8] Como constante, subyace a las leyes de desintegración exponencial de partículas de la radiactividad. (Para tiempos excesivamente largos, sin embargo, el crecimiento secular de la una k ( t ) teoría de la perturbación términos invalida de orden más bajo, lo que requiere un k « un i .)

Solo la magnitud del elemento de la matriz entra en la regla de oro de Fermi. Sin embargo, la fase de este elemento de la matriz contiene información separada sobre el proceso de transición. Aparece en expresiones que complementan la regla de oro en el enfoque semiclásico de la ecuación de Boltzmann para el transporte de electrones. ^[9]${\displaystyle \langle f|H'|i\rangle }$

Si bien la regla de oro se establece y se deriva comúnmente en los términos anteriores, la función de onda del estado final (continuo) a menudo se describe de manera bastante vaga y no se normaliza correctamente (y la normalización se usa en la derivación). El problema es que para producir un continuo no puede haber confinamiento espacial (lo que necesariamente discretizaría el espectro) y, por lo tanto, las funciones de onda del continuo deben tener una extensión infinita y, a su vez, esto significa que la normalización es infinita, no la unidad. Si las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de otros números cuánticos, es habitual normalizar las funciones de onda continuas con energía etiquetada , escribiendo dónde está la función delta de Dirac${\displaystyle \langle f|f\rangle =\int d^{3}r|f(\mathbf {r} )|^{2}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle |\epsilon \rangle }$${\displaystyle \langle \epsilon |\epsilon '\rangle =\delta (\epsilon -\epsilon ')}$${\displaystyle \delta }$, y efectivamente se incluye un factor de la raíz cuadrada de la densidad de estados . ^[10] En este caso, la función de onda continua tiene dimensiones de [energía], y la regla de oro ahora es${\displaystyle |\epsilon _{i}\rangle }$${\displaystyle 1/\surd }$

${\displaystyle \Gamma _{i\to \epsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \epsilon _{i}|H'|i\rangle |^{2}.}$

donde se refiere al estado continuo con la misma energía que el estado discreto . Por ejemplo, funciones de onda continuas correctamente normalizadas para el caso de un electrón libre en la vecindad de un átomo de hidrógeno están disponibles en Bethe y Salpeter. ^[11]${\displaystyle \epsilon _{i}}$${\displaystyle i}$

Derivación normalizada en la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo

Artículo principal: Teoría de la perturbación (mecánica cuántica) § Teoría de la perturbación dependiente del tiempo Lo siguiente parafrasea el tratamiento de Cohen-Tannoudji. [10] Como antes, el hamiltoniano total es la suma de un “original” hamiltoniano H 0 y una perturbación: . Todavía podemos expandir la evolución temporal de un estado cuántico arbitrario en términos de estados propios de energía del sistema no perturbado, pero estos ahora consisten en estados discretos y estados continuos. Suponemos que las interacciones dependen de la energía del estado continuo, pero no de otros números cuánticos. La expansión en los estados relevantes en la imagen de Dirac es${\displaystyle H=H_{0}+H'}$ ${\displaystyle |\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\epsilon a_{\epsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\epsilon \rangle .}$ donde y son las energías de los estados . La integral está sobre el continuo , es decir, está en el continuo.${\displaystyle \omega _{i}=\epsilon _{i}/\hbar ,\omega =\epsilon /\hbar }$${\displaystyle \epsilon _{i},\epsilon }$${\displaystyle |i\rangle ,|\epsilon \rangle }$${\displaystyle \epsilon \in C}$${\displaystyle |\epsilon \rangle }$ Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo ${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle }$ y premultiplicar por produce ${\displaystyle \langle i|}$ ${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\epsilon \Omega _{i\epsilon }e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\epsilon }(t),}$ donde , y premultiplicando por produce ${\displaystyle \Omega _{i\epsilon }=\langle i|H'|\epsilon \rangle /\hbar }$${\displaystyle \langle \epsilon '|}$ ${\displaystyle {\frac {da_{\epsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\epsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})t}a_{i}(t).}$ Hicimos uso de la normalización . Integrando el último y sustituyendo al primero, ${\displaystyle \langle \epsilon '|\epsilon \rangle =\delta (\epsilon '-\epsilon )}$ ${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\epsilon \Omega _{i\epsilon }\Omega _{\epsilon i}\int _{0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').}$ Se puede ver aquí que el tiempo depende de todos los tiempos anteriores , es decir, no es markoviano . Hacemos la aproximación de Markov, es decir, que solo depende de en el tiempo (que es menos restrictiva que la aproximación que ≈1 usó anteriormente, y permite que la perturbación sea fuerte)${\displaystyle da_{i}/dt}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle t'}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=\int _{C}d\epsilon |\Omega _{i\epsilon }|^{2}a_{i}(t)\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T}.}$ donde y . Integrando sobre ,${\displaystyle T=t-t'}$${\displaystyle \Delta =\omega -\omega _{i}}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar \int _{C}d\epsilon |\Omega _{i\epsilon }|^{2}a_{i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},}$ La fracción de la derecha es una función delta de Dirac naciente , lo que significa que tiende a as (ignorando su parte imaginaria que conduce a un cambio de energía sin importancia, mientras que la parte real produce desintegración [10] ). Finalmente${\displaystyle \delta (\epsilon -\epsilon _{i})}$${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-2\pi \hbar |\Omega _{i\epsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t)}$ que tiene soluciones: es decir, el decaimiento de la población en el estado discreto inicial es donde${\displaystyle a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \epsilon _{i}}t/2)}$${\displaystyle P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \epsilon _{i}}t)}$ ${\displaystyle \Gamma _{i\to \epsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\epsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle i|H'|\epsilon \rangle |^{2}}$

Aplicaciones

Semiconductores

La regla de oro de Fermi se puede utilizar para calcular la tasa de probabilidad de transición de un electrón que es excitado por un fotón desde la banda de valencia a la banda de conducción en un semiconductor de banda prohibida directa, y también para cuando el electrón se recombina con el agujero y emite un fotón. ^[12] Considere un fotón de frecuencia y un vector de onda , donde la relación de dispersión de la luz es y es el índice de refracción.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\textbf {q}}}$${\displaystyle \omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|}$${\displaystyle n}$

Usando el medidor de Coulomb donde y , el potencial vectorial de la onda EM viene dado por donde el campo eléctrico resultante es${\displaystyle \nabla \cdot {\textbf {A}}=0}$${\displaystyle V=0}$${\displaystyle {\textbf {A}}=A_{0}{\vec {\epsilon }}e^{i({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}+C}$

${\displaystyle {\textbf {E}}=-\partial {\textbf {A}}/\partial t=i\omega A_{0}{\vec {\epsilon }}e^{i({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}}$

Para una partícula cargada en la banda de valencia, el hamiltoniano es

${\displaystyle H={\frac {({\textbf {p}}-Q{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})}$

¿Dónde está el potencial del cristal? Si nuestra partícula es un electrón ( ) y consideramos el proceso que involucra un fotón y primer orden en . El hamiltoniano resultante es${\displaystyle V({\textbf {r}})}$${\displaystyle Q=-e}$${\displaystyle {\textbf {A}}}$

${\displaystyle H=H_{0}+H'=\left[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})\right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\right]}$

donde está la perturbación de la onda EM.${\displaystyle H'}$

De aquí en adelante tenemos la probabilidad de transición basada en la teoría de perturbación dependiente del tiempo que

${\displaystyle \Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}\pm \hbar \omega )}$

${\displaystyle H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\vec {\epsilon }}\cdot {\vec {p}}}$

donde está el vector de polarización de la luz. De la perturbación es evidente que el corazón del cálculo se encuentra en los elementos de la matriz que se muestran en el paréntesis.${\displaystyle {\vec {\epsilon }}}$

Para los estados inicial y final en las bandas de valencia y conducción, respectivamente, tenemos y , y si el operador no actúa sobre el espín, el electrón permanece en el mismo estado de espín y, por lo tanto, podemos escribir las funciones de onda como ondas de Bloch, de modo que${\displaystyle |i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})}$${\displaystyle |f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})}$${\displaystyle H'}$

${\displaystyle \Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf {r}}}}$

${\displaystyle \Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}}}u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf {r}}}}$

donde es el número de celdas unitarias con volumen . Usando estas funciones de onda y con algo más de matemáticas, y enfocándonos en la emisión ( fotoluminiscencia ) en lugar de la absorción, llegamos a la tasa de transición.${\displaystyle N}$${\displaystyle \Omega _{0}}$

${\displaystyle \Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\vec {\epsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\hbar \omega )}$

donde es el elemento de matriz de momento dipolar de transición es cualitativamente el valor esperado y en esta situación toma la forma${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}}$${\displaystyle \langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf {r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}}({\textbf {r}}')}$

Finalmente, queremos conocer la tasa de transición total . Por lo tanto, necesitamos sumar todos los estados iniciales y finales (es decir, una integral de la zona de Brillouin en el espacio k ) y tener en cuenta la degeneración de espín, que a través de algunas matemáticas da como resultado${\displaystyle \Gamma (\omega )}$

${\displaystyle \Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}|{\vec {\epsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )}$

donde es la densidad conjunta de estados de valencia-conducción (es decir, la densidad de un par de estados; un estado de valencia ocupado, un estado de conducción vacío). En 3D, esto es${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )}$

${\displaystyle \rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {\hbar \omega -E_{g}}}}$

pero el DOS conjunto es diferente para 2D, 1D y 0D.

Finalmente notamos que de manera general podemos expresar la regla de oro de Fermi para semiconductores como ^[13]

${\displaystyle \Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega )}$

Microscopía de túnel de barrido

Artículo principal: Microscopio de túnel de barrido § Principio de funcionamiento

En un microscopio de efecto túnel , la regla de oro de Fermi se utiliza para derivar la corriente de efecto túnel. Toma la forma

${\displaystyle w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi })}$

donde está el elemento de matriz de tunelización.${\displaystyle M}$

Óptica cuántica

Al considerar las transiciones de nivel de energía entre dos estados discretos, la regla de oro de Fermi se escribe como

${\displaystyle \Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}g(\hbar \omega ),}$

donde es la densidad de los estados de los fotones a una energía dada, es la energía del fotón y es la frecuencia angular . Esta expresión alternativa se basa en el hecho de que existe un continuo de estados finales (fotones), es decir, el rango de energías fotónicas permitidas es continuo. ^[14]${\displaystyle g(\hbar \omega )}$${\displaystyle \hbar \omega }$${\displaystyle \omega }$

Experimento Drexhage

Tanto el patrón de radiación como la potencia total emitida (que es proporcional a la tasa de desintegración) de un dipolo dependen de su distancia a un espejo.

La regla de oro de Fermi predice que la probabilidad de que un estado excitado decaiga depende de la densidad de estados. Esto se puede ver experimentalmente midiendo la tasa de desintegración de un dipolo cerca de un espejo: como la presencia del espejo crea regiones de mayor y menor densidad de estados, la tasa de desintegración medida depende de la distancia entre el espejo y el dipolo. ^{[15] [16]}

Ver también

• Decaimiento exponencial  - Densidad de probabilidad
• Lista de cosas que llevan el nombre de Enrico Fermi  - Artículo de la lista de Wikipedia
• Desintegración de partículas
• Función Sinc: función  matemática especial definida como sin (x) / x
• Teoría de la perturbación dependiente del tiempo
• Regla de Sargent

Referencias

1. Bransden, BH; Joachain, CJ (1999). Mecánica cuántica (2ª ed.). pag. 443. ISBN 978-0582356917.
2. Dirac, PAM (1 de marzo de 1927). "La teoría cuántica de emisión y absorción de radiación" . Proceedings of the Royal Society A . 114 (767): 243–265. Código Bibliográfico : 1927RSPSA.114..243D . doi : 10.1098 / rspa.1927.0039 . JSTOR 94746 .  Consulte las ecuaciones (24) y (32).
3. Fermi, E. (1950). Física nuclear . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0226243658. fórmula VIII.2
4. Fermi, E. (1950). Física nuclear . Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0226243658. fórmula VIII.19
5. Notas de UT de R Schwitters sobre derivación .
6. Es notable porque la tasa es constante y no aumenta linealmente en el tiempo, como podría esperarse ingenuamente para las transiciones con estricta conservación de la energía. Esto se debe a la interferencia de las contribuciones oscilatorias de las transiciones a numerosos estados continuos con solo unaconservación de energía no perturbada aproximada, ver Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 , pp. 150– 151. 
7. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica cuántica: teoría no relativista (Vol. 3). Elsevier.
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enlaces externos

• Más información sobre la regla de oro de Fermi
• Derivación de la regla de oro de Fermi
• Teoría de la perturbación dependiente del tiempo
• La regla de oro de Fermi: su derivación y ruptura por un modelo ideal