El tablero de ajedrez Feynman , o tablero de ajedrez relativista modelo, fue Richard Feynman ‘s de suma-over-caminos formulación del núcleo para un libre spin-½ partícula que se mueve en una dimensión espacial. Proporciona una representación de las soluciones de la ecuación de Dirac en el espacio - tiempo (1 + 1) dimensional como sumas discretas.
El modelo se puede visualizar considerando caminatas aleatorias relativistas en un tablero de ajedrez de espacio-tiempo bidimensional. En cada paso de tiempo discreto la partícula de masa se mueve una distancia a la izquierda o derecha (siendo la velocidad de la luz ). Para un movimiento tan discreto, la integral de trayectoria de Feynman se reduce a una suma sobre las posibles trayectorias. Feynman demostró que si cada "giro" (cambio de movimiento de izquierda a derecha o viceversa) del camino espacio-tiempo está ponderado por (con que denota la constante de Planck reducida ), en el límite de cuadrados de tablero de ajedrez infinitamente pequeños, la suma de todos los caminos ponderados produce un propagador que satisface la ecuación unidimensional de Dirac . Como resultado, la helicidad (el equivalente unidimensional del espín ) se obtiene a partir de una regla simple de tipo autómata celular .
El modelo de tablero de ajedrez es importante porque conecta aspectos de espín y quiralidad con la propagación en el espacio-tiempo [1] y es la única formulación de suma sobre ruta en la que la fase cuántica es discreta en el nivel de las rutas, tomando solo valores correspondientes a la 4ª. raíces de la unidad .
Historia
Feynman inventó el modelo en la década de 1940 mientras desarrollaba su enfoque espaciotemporal de la mecánica cuántica. [2] No publicó el resultado hasta que apareció en un texto sobre integrales de ruta en coautoría con Albert Hibbs a mediados de la década de 1960. [3] El modelo no se incluyó con el artículo original de integral de trayectoria [2] porque no se había encontrado una generalización adecuada a un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. [4]
Una de las primeras conexiones entre las amplitudes prescritas por Feynman para la partícula de Dirac en dimensiones 1 + 1, y la interpretación estándar de amplitudes en términos del núcleo, o propagador, fue establecida por Jayant Narlikar en un análisis detallado. [5] El nombre "modelo de tablero de ajedrez de Feynman" fue acuñado por Gersch cuando demostró su relación con el modelo unidimensional de Ising . [6] Gaveau y col. descubrió una relación entre el modelo y un modelo estocástico de las ecuaciones telegráficas de Mark Kac a través de la continuación analítica . [7] Jacobson y Schulman examinaron el paso de la integral de trayectoria relativista a la no relativista. [8] Posteriormente, Ord mostró que el modelo de tablero de ajedrez estaba incrustado en correlaciones en el modelo estocástico original de Kac [9] y, por lo tanto, tenía un contexto puramente clásico, libre de continuación analítica formal. [10] En el mismo año, Kauffman y Noyes [11] produjeron una versión completamente discreta relacionada con la física de cadenas de bits, que se ha desarrollado en un enfoque general de la física discreta. [12]
Extensiones
Aunque Feynman no vivió para publicar extensiones del modelo del tablero de ajedrez, es evidente a partir de sus notas archivadas que estaba interesado en establecer un vínculo entre las 4tas raíces de la unidad (utilizadas como pesos estadísticos en las rutas del tablero de ajedrez) y su descubrimiento, con JA Wheeler. , que las antipartículas son equivalentes a partículas que se mueven hacia atrás en el tiempo. [1] Sus notas contienen varios bocetos de caminos de tablero de ajedrez con bucles espaciotemporales añadidos. [13] La primera extensión del modelo para contener explícitamente tales bucles fue el "modelo en espiral", en el que se permitía que los caminos del tablero de ajedrez giraran en espiral en el espacio-tiempo. A diferencia del caso del tablero de ajedrez, la causalidad tuvo que implementarse explícitamente para evitar divergencias, sin embargo, con esta restricción, la ecuación de Dirac emergió como un límite continuo. [14] Posteriormente, se aclararon los roles de zitterbewegung , antipartículas y el mar de Dirac en el modelo del tablero de ajedrez, [15] y las implicaciones para la ecuación de Schrödinger se consideraron a través del límite no relativista. [dieciséis]
Otras extensiones del modelo de espacio-tiempo bidimensional original incluyen características tales como reglas de suma mejoradas [17] y celosías generalizadas. [18] No ha habido consenso sobre una extensión óptima del modelo de tablero de ajedrez a un espacio-tiempo completamente cuatridimensional. Existen dos clases distintas de extensiones, las que trabajan con una celosía subyacente fija [19] [20] y las que integran el caso bidimensional en una dimensión superior. [21] [22] La ventaja del primero es que la suma de caminos está más cerca del caso no relativista, sin embargo, se pierde la imagen simple de una única velocidad de la luz direccionalmente independiente. En las últimas extensiones, la propiedad de velocidad fija se mantiene a expensas de direcciones variables en cada paso.
Referencias
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