Inferencia fiducial

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La inferencia fiducial es uno de varios tipos diferentes de inferencia estadística . Estas son reglas, destinadas a la aplicación general, mediante las cuales se pueden extraer conclusiones a partir de muestras de datos. En la práctica estadística moderna, los intentos de trabajar con inferencia fiducial han pasado de moda a favor de la inferencia frecuentista , la inferencia bayesiana y la teoría de la decisión . Sin embargo, la inferencia fiducial es importante en la historia de la estadística ya que su desarrollo condujo al desarrollo paralelo de conceptos y herramientas en estadística teórica.que son ampliamente utilizados. Algunas investigaciones actuales en metodología estadística están explícitamente vinculadas a la inferencia fiducial o están estrechamente relacionadas con ella.

Fondo

El enfoque general de la inferencia fiducial fue propuesto por Ronald Fisher . ^{[1] [2]} Aquí "fiducial" viene del latín para la fe. La inferencia fiducial se puede interpretar como un intento de realizar una probabilidad inversa sin recurrir a distribuciones de probabilidad previas . ^{[3] La} inferencia fiducial atrajo rápidamente controversias y nunca fue ampliamente aceptada. ^[4] De hecho, pronto se publicaron contraejemplos a las afirmaciones de Fisher sobre inferencia fiducial. ^{[ cita requerida ]} Estos contraejemplos ponen en duda la coherencia de la "inferencia fiducial" como un sistema de inferencia estadística ológica inductiva . Otros estudios mostraron que, donde se dice que los pasos de la inferencia fiducial conducen a "probabilidades fiduciales" (o "distribuciones fiduciales"), estas probabilidades carecen de la propiedad de aditividad y, por lo tanto, no pueden constituir una medida de probabilidad . ^{[ cita requerida ]}

El concepto de inferencia fiducial se puede esbozar comparando su tratamiento del problema de la estimación de intervalos en relación con otros modos de inferencia estadística.

• Un intervalo de confianza , en inferencia frecuentista , con probabilidad de cobertura γ tiene la interpretación de que entre todos los intervalos de confianza calculados por el mismo método, una proporción γ contendrá el valor verdadero que debe estimarse. Esto tiene una interpretación de muestreo repetido (o frecuentista ), o es la probabilidad de que un intervalo calculado a partir de datos aún por muestrear cubra el valor verdadero. Sin embargo, en cualquier caso, la probabilidad en cuestión no es la probabilidad de que el valor verdadero se encuentre en el intervalo particular que se ha calculado, ya que en esa etapa tanto el valor verdadero como el intervalo calculado son fijos y no aleatorios.
• Los intervalos creíbles , en inferencia bayesiana , sí permiten dar una probabilidad para el evento de que un intervalo, una vez calculado, sí incluye el valor verdadero, ya que procede sobre la base de que una distribución de probabilidad puede asociarse con el estado de conocimiento. sobre el valor real, tanto antes como después de que se haya obtenido la muestra de datos.

Fisher diseñó el método fiducial para resolver los problemas percibidos con el enfoque bayesiano, en un momento en que el enfoque frecuentista aún no se había desarrollado por completo. Dichos problemas se relacionan con la necesidad de asignar una distribución previa a los valores desconocidos. El objetivo era tener un procedimiento, como el método bayesiano, cuyos resultados aún pudieran recibir una interpretación de probabilidad inversa basada en los datos reales observados. El método procede intentando derivar una "distribución fiducial", que es una medida del grado de fe que se puede poner en cualquier valor dado del parámetro desconocido y es fiel a los datos en el sentido de que el método utiliza toda la información disponible. .

Desafortunadamente, Fisher no dio una definición general del método fiducial y negó que el método siempre pudiera aplicarse. ^{[ cita requerida ]} Sus únicos ejemplos fueron para un solo parámetro; Se han dado diferentes generalizaciones cuando hay varios parámetros. Quenouille (1958) ofrece una presentación relativamente completa del enfoque fiducial de la inferencia, mientras que Williams (1959) describe la aplicación del análisis fiducial al problema de calibración (también conocido como "regresión inversa") en el análisis de regresión . ^[5] Kendall y Stuart (1973) ofrecen más información sobre la inferencia fiducial. ^[6]

La distribución fiducial

Fisher requirió la existencia de una estadística suficiente para que se aplicara el método fiducial. Suponga que hay una única estadística suficiente para un solo parámetro. Es decir, suponga que la distribución condicional de los datos dada la estadística no depende del valor del parámetro. Por ejemplo, suponga que n observaciones independientes se distribuyen uniformemente en el intervalo . El máximo, X , de las n observaciones es un estadístico suficiente para ω. Si solo se registra X y se olvidan los valores de las observaciones restantes, es igualmente probable que estas observaciones restantes hayan tenido algún valor en el intervalo${\displaystyle [0,\omega ]}$${\displaystyle [0,X]}$. Esta declaración no depende del valor de ω. Entonces X contiene toda la información disponible sobre ω y las otras observaciones podrían no haber proporcionado más información.

La función de distribución acumulativa de X es

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=P\left(\mathrm {all\ observations} \leq x\right)=\left({\frac {x}{\omega }}\right)^{n}.}$

Pueden hacerse enunciados de probabilidad sobre X / ω. Por ejemplo, dado α , se puede elegir un valor de a con 0 <  a   <1 tal que

${\displaystyle P\left(X>\omega {a}\right)=1-a^{n}=\alpha .}$

Por lo tanto

${\displaystyle a=(1-\alpha )^{\frac {1}{n}}.}$

Entonces Fisher podría decir que esta afirmación puede invertirse en la forma

${\displaystyle P\left(\omega <{\frac {X}{a}}\right)=\alpha .}$

En esta última afirmación, ω ahora se considera variable y X es fijo, mientras que anteriormente era al revés. Esta distribución de ω es la distribución fiducial que puede usarse para formar intervalos fiduciales que representan grados de creencia.

El cálculo es idéntico al método fundamental para encontrar un intervalo de confianza, pero la interpretación es diferente. De hecho, los libros más antiguos usan los términos intervalo de confianza e intervalo fiducial de manera intercambiable. ^{[ cita requerida ]} Observe que la distribución fiducial se define de forma única cuando existe una única estadística suficiente.

El método pivotal se basa en una variable aleatoria que es función tanto de las observaciones como de los parámetros, pero cuya distribución no depende del parámetro. Estas variables aleatorias se denominan cantidades fundamentales . Al usarlos, se pueden hacer enunciados de probabilidad sobre las observaciones y los parámetros en los que las probabilidades no dependen de los parámetros y estos pueden invertirse resolviendo los parámetros de la misma manera que en el ejemplo anterior. Sin embargo, esto solo es equivalente al método fiducial si la cantidad fundamental se define de manera única en función de una estadística suficiente.

Un intervalo fiducial podría tomarse como un nombre diferente para un intervalo de confianza y darle la interpretación fiducial. Pero la definición podría no ser única. ^{[ cita requerida ]} Fisher habría negado que esta interpretación sea correcta: para él, la distribución fiducial tenía que definirse de forma única y tenía que utilizar toda la información de la muestra. ^{[ cita requerida ]}

Estado del enfoque

Fisher admitió que la "inferencia fiducial" tenía problemas. Fisher escribió a George A. Barnard que "no tenía la cabeza clara" acerca de un problema de inferencia fiducial, ^[7] y, también escribiendo a Barnard, Fisher se quejó de que su teoría parecía tener sólo "un enfoque asintótico de la inteligibilidad". . ^[7] Más tarde, Fisher confesó que "todavía no entiendo lo que hace la probabilidad fiducial. Tendremos que vivir con ella mucho tiempo antes de saber lo que está haciendo por nosotros. Pero no debe ignorarse solo porque no sin embargo, tiene una interpretación clara ". ^[7]

Lindley ^{[ cita requerida ] [8]} mostró que la probabilidad fiducial carecía de aditividad, por lo que no era una medida de probabilidad . Cox señala ^[9] que el mismo argumento se aplica a la llamada " distribución de confianza " asociada con los intervalos de confianza , por lo que la conclusión que se puede extraer de esto es discutible. Fisher esbozó "pruebas" de resultados usando probabilidad fiducial. Cuando las conclusiones de los argumentos fiduciales de Fisher no son falsas, se ha demostrado que muchas también se derivan de la inferencia bayesiana. ^{[ cita requerida ] [6]}

En 1978, JG Pederson escribió que "el argumento fiducial ha tenido un éxito muy limitado y ahora está esencialmente muerto". ^[10] Davison escribió: "Se han hecho algunos intentos posteriores para resucitar el fiducialismo, pero ahora parece en gran parte de importancia histórica, particularmente en vista de su rango restringido de aplicabilidad cuando se establece junto con modelos de interés actual". ^[11]

Sin embargo, la inferencia fiducial todavía se está estudiando y sus principios parecen valiosos para algunas aplicaciones científicas. ^{[12] [13]} A mediados de la década de 2010, el psicometrista Yang Liu desarrolló una inferencia fiducial generalizada para modelos en la teoría de respuesta al ítem y demostró resultados favorables en comparación con los enfoques frecuentista y bayesiano. Otro trabajo actual en inferencia fiducial está en curso bajo el nombre de distribuciones de confianza .

Referencias

1. Fisher, RA (1935). "El argumento fiducial en la inferencia estadística". Anales de la eugenesia . 5 (4): 391–398. doi : 10.1111 / j.1469-1809.1935.tb02120.x . hdl : 2440/15222 .
2. Argumento fiducial de RA Fisher y teorema de Bayes por Teddy Seidenfeld
3. Quenouille (1958), Capítulo 6
4. Neyman, Jerzy. "Nota sobre un artículo de Sir Ronald Fisher". Revista de la Royal Statistical Society. Serie B (metodológica) (1956): 288-294.
5. Williams (1959, Capítulo 6)
6. Kendall, MG, Stuart, A. (1973) La teoría avanzada de la estadística, Volumen 2: Inferencia y relación, 3ª edición , Griffin. ISBN 0-85264-215-6 (Capítulo 21) 
7. Zabell, SL (agosto de 1992). "RA Fisher y argumento fiducial" . Ciencia estadística . 7 (3): 369–387. doi : 10.1214 / ss / 1177011233 . JSTOR 2246073 .  (página 381)
8. Sharon Bertsch McGrayne (2011) La teoría que no moriría. pag. 133 ^{[ se necesita cita completa ]}
9. Cox (2006) p. 66
10. Pederson, JG (1978). "Inferencia Fiducial". Revista Estadística Internacional . 46 (2): 147-170. doi : 10.2307 / 1402811 . JSTOR 1402811 . Señor 0514060 .  
11. Davison, AC (2001) " Biometrika Centenary: Teoría y metodología general" Biometrika 2001 (página 12 en la reedición editada por DM Titterton y David R. Cox )
12. Hannig, J (2009). "Inferencia fiducial generalizada para la regresión wavelet". Biometrika . 96 (4): 847–860. doi : 10.1093 / biomet / asp050 . S2CID 96445115 . 
13. Hannig, J (2009). "Sobre inferencia fiducial generalizada". Statistica Sinica . 19 : 491–544.

Bibliografía

• Cox, RD (2006). Principios de inferencia estadística , CUP. ISBN 0-521-68567-2 . 
• Fisher, RA (1956). Métodos estadísticos e inferencia científica . Nueva York: Hafner. ISBN 978-0-02-844740-7.
• Fisher, Ronald "Métodos estadísticos e inducción científica" Revista de la Royal Statistical Society, Serie B 17 (1955), 69-78. (crítica de las teorías estadísticas de Jerzy Neyman y Abraham Wald desde una perspectiva fiducial)
• Neyman, Jerzy (1956). "Nota sobre un artículo de Sir Ronald Fisher". Revista de la Sociedad Real de Estadística, Serie B . 18 (2): 288-294. JSTOR  2983716 . (respuesta a Fisher 1955, que diagnostica una falacia de "inferencia fiducial")
• Tukey, JW, ed. (1950). Contribuciones de RA Fisher a la estadística matemática . Nueva York: Wiley.
• Quenouille, MH (1958) Fundamentos del razonamiento estadístico . Griffin, Londres
• Williams, EJ (1959) Análisis de regresión , Wiley LCCN  59-11815
• Young, GA, Smith, RL (2005) Fundamentos de la inferencia estadística , CUP. ISBN 0-521-83971-8 
• Fraser, DAS (1961). "El método fiducial y la invariancia". Biometrika . 48 (3/4): 261–80. doi : 10.2307 / 2332749 . JSTOR  2332749 .
• Fraser, DAS (1961). "Sobre inferencia fiducial" . Anales de estadística matemática . 32 (3): 661–676. doi : 10.1214 / aoms / 1177704962 .