En matemáticas, una formación de clase es un grupo topológico que actúa sobre un módulo que cumple ciertas condiciones. Las formaciones de clase fueron introducidas por Emil Artin y John Tate para organizar los diversos grupos y módulos de Galois que aparecen en la teoría del campo de clase .
Una formación es un grupo topológico G junto con un G topológico -módulo A sobre el que G actúa continuamente.
Una capa E / F de una formación es un par de subgrupos abiertos E , F de G tales que F es un subgrupo de índice finito de E . Se llama capa normal si F es un subgrupo normal de E , y capa cíclica si además el grupo cociente es cíclico. Si E es un subgrupo de G , entonces A E se define como los elementos de A fijados por E . Nosotros escribimos
para el grupo de cohomología de Tate H n ( E / F , A F ) siempre que E / F sea una capa normal. (Algunos autores piensan que E y F son campos fijos en lugar de subgrupos de G , por lo que escriben F / E en lugar de E / F ). En las aplicaciones, G suele ser el grupo absoluto de Galois de un campo y, en particular, es profinito, y los subgrupos abiertos corresponden por tanto a las extensiones finitas del campo contenidas en alguna clausura separable fija.
En la práctica, estos grupos cíclicos vienen provistos de generadores canónicos u E / F ∈ H 2 ( E / F ), llamados clases fundamentales , que son compatibles entre sí en el sentido de que la restricción (de clases de cohomología) de una clase fundamental es otra clase fundamental. A menudo, las clases fundamentales se consideran parte de la estructura de una formación de clase.
Una formación que satisface solo la condición H 1 ( E / F )=1 a veces se denomina formación de campo . Por ejemplo, si G es cualquier grupo finito que actúa sobre un campo L y A=L × , entonces se trata de una formación de campo según el teorema 90 de Hilbert .