En álgebra abstracta , el teorema 90 de Hilbert (o Satz 90 ) es un resultado importante en las extensiones cíclicas de campos (o en una de sus generalizaciones) que conduce a la teoría de Kummer . En su forma más básica, establece que si L / K es una extensión de campos con un grupo cíclico de Galois G = Gal ( L / K ) generado por un elemento y si es un elemento de L de norma relativa 1, es decir
entonces existe en L tal que
El teorema toma su nombre del hecho de que es el teorema número 90 en el famoso Zahlbericht de David Hilbert (Hilbert 1897 , 1998 ), aunque originalmente se debe a Kummer ( 1855 , p.213, 1861 ).
A menudo se le da el nombre a un teorema más general debido a Emmy Noether ( 1933 ), que indica que si L / K es una extensión de Galois finita de campos con un grupo de Galois arbitrario G = Gal ( L / K ), entonces el primer grupo de cohomología de G , con coeficientes en el grupo multiplicativo de L , es trivial:
Ejemplos de
Sea L / K la extensión cuadrática El grupo de Galois es cíclico de orden 2, su generador actuando a través de la conjugación:
Un elemento en L tiene norma, es decir . Un elemento de la norma uno corresponde a una solución racional de la ecuacióno en otras palabras, un punto con coordenadas racionales en el círculo unitario . El teorema 90 de Hilbert establece que cada elemento y de la norma uno se puede parametrizar (con integral c , d ) como
que puede verse como una parametrización racional de los puntos racionales en el círculo unitario. Puntos racionales en el círculo unitario corresponden a triples pitagóricos , es decir, triples de enteros que satisfacen
Cohomología
El teorema se puede establecer en términos de cohomología de grupo : si L × es el grupo multiplicativo de cualquier extensión de Galois (no necesariamente finita) L de un campo K con el grupo de Galois correspondiente G , entonces
Específicamente, la cohomología de grupo es la cohomología del complejo cuyas i- cocadenas son funciones arbitrarias desde i -tuplas de elementos de grupo hasta el grupo de coeficientes multiplicativos,, con diferenciales dada por:
La trivialidad del primer grupo de cohomología es equivalente a que los 1-ciclos sean iguales a los 1-co-límites:
Para cíclico , un 1-ciclo está determinado por , con y:
Por otro lado, un 1-co-límite está determinado por . Al equipararlos se obtiene la versión original del teorema.
Una generalización adicional es la cohomología con coeficientes no abelianos : que si H es el grupo lineal general o especial sobre L , incluyendo, luego
Otra generalización es para un esquema X :
Hay otra generalización de la teoría K de Milnor que juega un papel en la prueba de Voevodsky de la conjetura de Milnor .
Prueba
Dejar ser cíclico de grado y generar . Elija cualquiera de norma
Limpiando denominadores, resolviendo es lo mismo que mostrar que tiene valor propio . Amplíe esto a un mapa de-espacios vectoriales
El teorema del elemento primitivo da para algunos . Desde tiene polinomio mínimo
nosotros identificamos
vía
Aquí escribimos el segundo factor como -polinomio en .
Bajo esta identificación, nuestro mapa
Es decir debajo de este mapa
es un vector propio con valor propio si tiene norma .
Referencias
- Hilbert, David (1897), "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 4 : 175–546, ISSN 0012-0456
- Hilbert, David (1998), La teoría de los campos numéricos algebraicos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62779-1, MR 1646901
- Kummer, Ernst Eduard (1855), "Über eine besondere Art, aus complexen Einheiten gebildeter Ausdrücke". , Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 50 : 212–232, doi : 10.1515 / crll.1855.50.212 , ISSN 0075-4102
- Kummer, Ernst Eduard (1861), "Zwei neue Beweise der allgemeinen Reciprocitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist" , Abdruck aus den Abhandlungen der Kgl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin (en alemán), reimpreso en el volumen 1 de sus obras completas, páginas 699–839
- Capítulo II de JS Milne, Class Field Theory , disponible en su sitio web [1] .
- Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0.948,11001
- Noether, Emmy (1933), "Der Hauptgeschlechtssatz für relativ-galoissche Zahlkörper". , Mathematische Annalen (en alemán), 108 (1): 411–419, doi : 10.1007 / BF01452845 , ISSN 0025-5831 , Zbl 0007.29501
- Snaith, Victor P. (1994), estructura del módulo de Galois , monografías del Fields Institute, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0264-X, Zbl 0830.11042