En matemáticas y lógica , una operación es finita si tiene aridad finita , es decir, si tiene un número finito de valores de entrada. De manera similar, una operación infinita es aquella con un número infinito de valores de entrada.
En matemáticas estándar, una operación es finita por definición. Por lo tanto, estos términos generalmente solo se usan en el contexto de la lógica infinita .
Un argumento finito es aquel que se puede traducir a un conjunto finito de proposiciones simbólicas a partir de un conjunto finito [1] de axiomas . En otras palabras, es una prueba (que incluye todas las suposiciones) que se puede escribir en una hoja de papel lo suficientemente grande.
Por el contrario, la lógica infinitaria estudia lógicas que permiten declaraciones y pruebas infinitamente largas . En tal lógica, uno puede considerar el cuantificador existencial , por ejemplo, como derivado de una disyunción infinita .
Los lógicos de principios del siglo XX intentaron resolver el problema de los fundamentos , como "¿Cuál es la verdadera base de las matemáticas?" El programa debía poder reescribir todas las matemáticas utilizando un lenguaje completamente sintáctico sin semántica . En palabras de David Hilbert (refiriéndose a la geometría ), “no importa si llamamos a las cosas sillas , mesas y jarras de cerveza o puntos , líneas y planos ”.
El énfasis en la finitud provino de la idea de que el pensamiento matemático humano se basa en un número finito de principios [ cita requerida ] y todos los razonamientos siguen esencialmente una regla: el modus ponens . El proyecto consistía en fijar un número finito de símbolos (esencialmente los números 1, 2, 3, ... las letras del alfabeto y algunos símbolos especiales como "+", "⇒", "(", ")", etc. ), dan un número finito de proposiciones expresadas en esos símbolos, que debían tomarse como "fundamentos" (los axiomas), y algunas reglas de inferencia que modelarían la forma en que los humanos sacan conclusiones. De estos, independientemente de la interpretación semántica de los símboloslos teoremas restantes deben seguirse formalmente usando solo las reglas establecidas (que hacen que las matemáticas parezcan un juego con símbolos más que una ciencia ) sin necesidad de apoyarse en el ingenio. La esperanza era demostrar que a partir de estos axiomas y reglas podían deducirse todos los teoremas de las matemáticas. Ese objetivo se conoce como logicismo .