Operador diferencial

En matemáticas , un operador diferencial es un operador definido como una función del operador de diferenciación . Es útil, primero como una cuestión de notación, considerar la diferenciación como una operación abstracta que acepta una función y devuelve otra función (al estilo de una función de orden superior en informática ).

Este artículo considera principalmente operadores diferenciales lineales , que son el tipo más común. Sin embargo, también existen operadores diferenciales no lineales, como la derivada de Schwarzian .

Suponga que hay un mapa de un espacio de funciones a otro espacio de funciones y una función que es la imagen de , es decir, . Un operador diferencial se representa como una combinación lineal, finitamente generada por y sus derivadas que contienen mayor grado como${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle u\in {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle f=A(u)}$${\displaystyle u}$

El operador diferencial más común es la acción de tomar la derivada . Las notaciones comunes para tomar la primera derivada con respecto a una variable x incluyen:

El uso y la creación de la notación D se le atribuye a Oliver Heaviside , quien consideró operadores diferenciales de la forma

Esto a veces también se llama el operador de homogeneidad , porque sus funciones propias son los monomios en z :

Una función armónica definida en un anillo . Las funciones armónicas son exactamente aquellas funciones que se encuentran en el núcleo del operador de Laplace , un importante operador diferencial.