En matemáticas , la derivada de Schwarz , que lleva el nombre del matemático alemán Hermann Schwarz , es un operador determinado que es invariante en todas las transformaciones de Möbius . Así, ocurre en la teoría de la línea proyectiva compleja , y en particular, en la teoría de formas modulares y funciones hipergeométricas . Desempeña un papel importante en la teoría de funciones univalentes , mapeo conforme y espacios de Teichmüller .
Definición
La derivada de Schwarz de una función holomórfica f de una variable compleja z se define por
La misma fórmula también define la derivada de Schwarz de una función C 3 de una variable real . La notación alternativa
se utiliza con frecuencia.
Propiedades
El derivado schwarziano de cualquier transformación de Möbius
es cero. Por el contrario, las transformaciones de Möbius son las únicas funciones con esta propiedad. Por tanto, la derivada de Schwarzian mide con precisión el grado en que una función deja de ser una transformación de Möbius.
Si g es una transformación de Möbius, entonces la composición g o f tiene el mismo derivado Schwarzian como f ; y por otro lado, la derivada schwarziana de f o g viene dada por la regla de la cadena
De manera más general, para cualquier función suficientemente diferenciable f y g
Esto hace que la derivada de Schwarzian sea una herramienta importante en la dinámica unidimensional [1] ya que implica que todas las iteraciones de una función con Schwarzian negativo también tendrán Schwarzian negativo.
Introducción a la función de dos variables complejas [2]
su segunda derivada parcial mixta viene dada por
y el derivado de Schwarzian viene dado por la fórmula:
La derivada de Schwarzian tiene una fórmula de inversión simple, intercambiando las variables dependientes e independientes. Uno tiene
que se sigue del teorema de la función inversa , a saber, que
Ecuación diferencial
La derivada de Schwarzian tiene una relación fundamental con una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden en el plano complejo . [3] Deja y ser dos soluciones holomorfas linealmente independientes de
Entonces la proporcion satisface
sobre el dominio en el que y están definidos, y Lo contrario también es cierto: si tal g existe, y es holomórfica en un dominio simplemente conectado , entonces dos soluciones y se pueden encontrar y, además, estos son únicos hasta un factor de escala común.
Cuando una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede llevarse a la forma anterior, el Q resultante a veces se denomina valor Q de la ecuación.
Tenga en cuenta que la ecuación diferencial hipergeométrica de Gauss se puede llevar a la forma anterior y, por lo tanto, los pares de soluciones de la ecuación hipergeométrica están relacionados de esta manera.
Condiciones para la univalencia
Si f es una función holomorfa en el disco unitario, D , entonces W. Kraus (1932) y Nehari (1949) demostraron que una condición necesaria para que f sea univalente es [4]
Por el contrario, si f ( z ) es una función holomórfica en D que satisface
luego Nehari demostró que f es univalente. [5]
En particular, una condición suficiente para la univalencia es [6]
Mapeo conforme de polígonos de arco circular
La derivada de Schwarzian y la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden asociada se pueden usar para determinar el mapeo de Riemann entre el semiplano superior o círculo unitario y cualquier polígono acotado en el plano complejo, cuyos bordes son arcos circulares o líneas rectas. Para polígonos con bordes rectos, esto se reduce al mapeo de Schwarz-Christoffel , que se puede derivar directamente sin utilizar la derivada de Schwarz . Los parámetros accesorios que surgen como constantes de integración están relacionados con los valores propios de la ecuación diferencial de segundo orden. Ya en 1890 Felix Klein había estudiado el caso de los cuadriláteros en términos de la ecuación diferencial de Lamé . [7] [8] [9]
Sea Δ un polígono de arco circular con ángulos π α 1 , ..., π α n en el sentido de las agujas del reloj. Sea f : H → Δ un mapa holomórfico que se extiende continuamente a un mapa entre los límites. Deje que los vértices correspondan a los puntos a 1 , ..., a n del eje real. Entonces p ( x ) = S ( f ) ( x ) tiene un valor real para x real y no para uno de los puntos. Por el principio de reflexión de Schwarz, p ( x ) se extiende a una función racional en el plano complejo con un doble polo en a i :
Los números reales β i se denominan parámetros accesorios . Están sujetos a tres restricciones lineales:
que corresponden a la desaparición de los coeficientes de y en la expansión de p ( z ) alrededor de z = ∞. El mapeo f ( z ) se puede escribir como
dónde y son soluciones holomórficas linealmente independientes de la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden
Hay n −3 parámetros accesorios linealmente independientes, que pueden ser difíciles de determinar en la práctica.
Para un triángulo, cuando n = 3, no hay parámetros accesorios. La ecuación diferencial ordinaria es equivalente a la ecuación diferencial hipergeométrica y f ( z ) es la función del triángulo de Schwarz , que se puede escribir en términos de funciones hipergeométricas .
Para un cuadrilátero, los parámetros accesorios dependen de una variable independiente λ . Escribiendo U ( z ) = q ( z ) u ( z ) para una elección adecuada de q ( z ), la ecuación diferencial ordinaria toma la forma
Por lo tanto son funciones propias de una ecuación de Sturm-Liouville en el intervalo. Según el teorema de separación de Sturm , la no desaparición deobliga a λ a ser el valor propio más bajo.
Estructura compleja en el espacio de Teichmüller
El espacio universal de Teichmüller se define como el espacio de mapeos analíticos cuasiconformales reales del disco unitario D , o equivalentemente el semiplano superior H , sobre sí mismo, con dos mapeos considerados equivalentes si en el límite uno se obtiene del otro por composición con una transformación de Möbius . Al identificar D con el hemisferio inferior de la esfera de Riemann , cualquier automapa f cuasiconformal del hemisferio inferior corresponde naturalmente a un mapeo conforme del hemisferio superior.sobre sí mismo. De echose determina como la restricción al hemisferio superior de la solución de la ecuación diferencial de Beltrami
donde μ es la función medible acotada definida por
en el hemisferio inferior, extendido a 0 en el hemisferio superior.
Al identificar el hemisferio superior con D , Lipman Bers utilizó la derivada de Schwarzian para definir un mapeo
que incrusta el espacio universal de Teichmüller en un subconjunto abierto U del espacio de funciones holomórficas acotadas g en D con la norma uniforme . Frederick Gehring demostró en 1977 que U es el interior del subconjunto cerrado de derivadas schwarzianas de funciones univalentes. [10] [11] [12]
Para una superficie compacta de Riemann S de género mayor que 1, su espacio de cobertura universal es el disco unitario D sobre el que actúa su grupo fundamental Γ mediante transformaciones de Möbius. El espacio de Teichmüller de S se puede identificar con el subespacio del invariante del espacio de Teichmüller universal bajo Γ. Las funciones holomorfas g tienen la propiedad de que
es invariante bajo Γ, así determinar las diferencias cuadráticas en S . De esta manera, el espacio Teichmüller de S se realiza como un subespacio abierto del espacio de vector complejo de dimensión finita de los diferenciales cuadráticas en S .
Grupo de difeomorfismo del círculo
Homomorfismos cruzados
La propiedad de transformación
permite interpretar la derivada de Schwarzian como un 1-cociclo continuo o homomorfismo cruzado del grupo de difeomorfismos del círculo con coeficientes en el módulo de densidades de grado 2 en el círculo. [13] Sea F λ ( S 1 ) el espacio de densidades tensoriales de grado λ en S 1 . El grupo de difeomorfismos que conservan la orientación de S 1 , Diff ( S 1 ), actúa sobre F λ ( S 1 ) a través de pushforwards . Si f es un elemento de Diff ( S 1 ), considere el mapeo
En el lenguaje de la cohomología de grupo, la regla en cadena anterior dice que este mapeo es un ciclo de 1 en Diff ( S 1 ) con coeficientes en F 2 ( S 1 ). De echo
y el 1-cociclo que genera la cohomología es f → S ( f −1 ). El cálculo de 1-cohomología es un caso particular del resultado más general
Tenga en cuenta que si G es un grupo y M un módulo G , entonces la identidad que define un homomorfismo cruzado c de G en M puede expresarse en términos de homomorfismos estándar de grupos: está codificado en un homomorfismo 𝜙 de G en el producto semidirecto tal que la composición de 𝜙 con la proyección sobre G está el mapa de identidad; la correspondencia es por el mapa C ( g ) = ( c ( g ), g ). Los homomorfismos cruzadas forman un espacio vectorial y que contiene como un subespacio la coborde cruzado homomorfismos b ( g ) = g ⋅ m - m para m en M . Un simple argumento de promediado muestra que, si K es un grupo compacto y V un espacio vectorial topológico en el que K actúa continuamente, entonces los grupos de cohomología superior desaparecen H m ( K , V ) = (0) para m > 0. n particular para 1-ciclos χ con
promediando sobre y , usando el invariante izquierdo de la medida de Haar en K da
con
Por tanto, al promediar se puede suponer que c satisface la condición de normalización c ( x ) = 0 para x en Rot ( S 1 ). Note que si cualquier elemento x en G satisface c ( x ) = 0 entonces C ( x ) = (0, x ). Pero entonces, dado que C es un homomorfismo, C ( xgx −1 ) = C ( x ) C ( g ) C ( x ) −1 , de modo que c satisface la condición de equivariancia c ( xgx −1 ) = x ⋅ c ( g ). Por tanto, se puede suponer que el cociclo satisface estas condiciones de normalización para Rot ( S 1 ). De hecho, la derivada de Schwarz se desvanece siempre que x es una transformación de Möbius correspondiente a SU (1,1). Los otros dos ciclos 1 que se analizan a continuación desaparecen solo en Rot ( S 1 ) ( λ = 0, 1).
Hay una versión infinitesimal de este resultado que da un 1-cociclo para Vect ( S 1 ), el álgebra de Lie de campos vectoriales suaves y, por lo tanto, para el álgebra de Witt , la subálgebra de campos vectoriales polinomiales trigonométricos. De hecho, cuando G es un grupo de Lie y la acción de G sobre M es suave, hay una versión algebraica de Lie del homomorfismo cruzado obtenida tomando los correspondientes homomorfismos de las álgebras de Lie (las derivadas de los homomotfismos en la identidad). Esto también tiene sentido para Diff ( S 1 ) y conduce al ciclo de 1
que satisface la identidad
En el caso álgebra de Lie, los mapas coborde tienen la forma b ( X ) = X ⋅ m para m en M . En ambos casos la 1-cohomología se define como el espacio de homomorfismos cruzados módulo co-límites. La correspondencia natural entre los homomorfismos de grupo y los homomorfismos del álgebra de Lie conduce al "mapa de inclusión de van Est"
De esta forma el cálculo se puede reducir al de la cohomología del álgebra de Lie . Por continuidad, esto se reduce al cálculo de homomorfismos cruzados 𝜙 del álgebra de Witt en F λ ( S 1 ). Las condiciones de normalización sobre el homomorfismo cruzado grupal implican las siguientes condiciones adicionales para 𝜙:
para x en Rot ( S 1 ).
Siguiendo las convenciones de Kac y Raina (1987) , una base del álgebra de Witt viene dada por
de modo que [ d m , d n ] = ( m - n ) d m + n . Una base para la complexificación de F λ ( S 1 ) está dada por
así que eso
para g ζ en Rot ( S 1 ) = T . Esto obliga a 𝜙 ( d n ) = a n ⋅ v n para coeficientes adecuados a n . La condición de homomorfismo cruzado 𝜙 ([ X , Y ]) = X 𝜙 ( Y ) - Y 𝜙 ( X ) da una relación de recurrencia para a n :
La condición 𝜙 ( d / d θ) = 0, implica que a 0 = 0. De esta condición y la relación de recurrencia, se deduce que hasta los múltiplos escalares, esto tiene una única solución distinta de cero cuando λ es igual a 0, 1 o 2 y solo la solución cero en caso contrario. La solución para λ = 1 corresponde al grupo 1-ciclo. La solución para λ = 0 corresponde al grupo 1-ciclo 𝜙 0 ( f ) = log f ' . Los correspondientes ciclos de álgebra 1 de Lie para λ = 0, 1, 2 se dan hasta un múltiplo escalar por
Extensiones centrales
Los homomorfismos cruzados dan lugar a su vez a la extensión central de Diff ( S 1 ) y de su álgebra de Lie Vect ( S 1 ), la llamada álgebra de Virasoro .
Acción conjunta
El grupo Diff ( S 1 ) y su extensión central también aparecen naturalmente en el contexto de la teoría de Teichmüller y la teoría de cuerdas . [14] De hecho, los homeomorfismos de S 1 inducidos por automapas cuasiconformales de D son precisamente los homeomorfismos cuasimétricos de S 1 ; estos son exactamente homeomorfismos que no envían cuatro puntos con razón cruzada 1/2 a puntos con razón cruzada cerca de 1 o 0. Tomando valores de frontera, el Teichmüller universal se puede identificar con el cociente del grupo de homeomorfismos cuasimétricos QS ( S 1 ) por el subgrupo de transformaciones de Möbius Moeb ( S 1 ). (También se puede realizar naturalmente como el espacio de cuasicírculos en C ).
el espacio homogéneo Diff ( S 1 ) / Moeb ( S 1 ) es naturalmente un subespacio del espacio universal de Teichmüller. También es, naturalmente, una variedad compleja y esta y otras estructuras geométricas naturales son compatibles con las del espacio de Teichmüller. El dual del álgebra de Lie de Diff ( S 1 ) se puede identificar con el espacio de los operadores de Hill en S 1
y la acción coadjunta de Diff ( S 1 ) invoca la derivada de Schwarz. La inversa del difeomorfismo f envía al operador de Hill a
Pseudogrupos y conexiones
La derivada de Schwarzian y el otro 1-cociclo definido en Diff ( S 1 ) pueden extenderse a biholomorphic entre conjuntos abiertos en el plano complejo. En este caso, la descripción local conduce a la teoría de los pseudogrupos analíticos , formalizando la teoría de los grupos de dimensión infinita y las álgebras de Lie estudiadas por primera vez por Élie Cartan en la década de 1910. Esto está relacionado con estructuras afines y proyectivas en superficies de Riemann, así como con la teoría de conexiones proyectivas o schwarzianas, discutida por Gunning, Schiffer y Hawley.
Un pseudogrupo holomórfico Γ en C consiste en una colección de biholomorfismos f entre conjuntos abiertos U y V en C que contiene los mapas de identidad para cada U abierto , que está cerrado bajo restringiendo a abierto, que está cerrado bajo composición (cuando es posible), que está cerrado tomando inversas y tal que si un biholomorfismo está localmente en Γ, entonces también está en Γ. El pseudogroup se dice que es transitivo si, dada z y w en C , hay un biholomorphism f en Γ tal que f ( z ) = w . Un caso particular de pseudogrupos transitivos son aquellos que son planos , es decir, contienen todas las traducciones complejas T b ( z ) = z + b . Sea G el grupo, bajo composición, de transformaciones formales en series de potencias F (z) = a 1 z + a 2 z 2 + .... con a 1 ≠ 0 . Un pseudogrupo holomórfico Γ define un subgrupo A de G , es decir, el subgrupo definido por la expansión de la serie de Taylor alrededor de 0 (o "chorro" ) de elementos f de Γ con f (0) = 0 . A la inversa, si Γ es plano, está determinado únicamente por A : un biholomorfismo f en U está contenido en Γ en si y solo si la serie de potencias de T - f ( a ) ∘ f ∘ T a se encuentra en A para cada a en U : en otras palabras, la serie de potencias formales para f en a viene dada por un elemento de A con z reemplazado por z - a ; o más brevemente todos los chorros de f mentira en A . [15]
El grupo G tiene homomorfismos naturales sobre el grupo G k de k- chorros obtenidos tomando la serie de potencia truncada tomada hasta el término z k . Este grupo actúa fielmente sobre el espacio de polinomios de grado k (truncando términos de orden superior a k ). Los truncamientos definen de manera similar los homomorfismos de G k en G k - 1 ; el núcleo consta de mapas f con f ( z ) = z + bz k , por lo que es Abeliano. Por lo tanto, el grupo G k se puede resolver, un hecho también claro por el hecho de que está en forma triangular para la base de los monomios.
Se dice que un pseudogrupo plano Γ está "definido por ecuaciones diferenciales" si hay un entero finito k tal que el homomorfismo de A en G k es fiel y la imagen es un subgrupo cerrado. Se dice que el k más pequeño es del orden de Γ. Existe una clasificación completa de todos los subgrupos A que surgen de esta manera que satisfacen los supuestos adicionales de que la imagen de A en G k es un subgrupo complejo y que G 1 es igual a C *: esto implica que el pseudogrupo también contiene las transformaciones de escala S a ( z ) = az para a ≠ 0, es decir, contiene A contiene todos los polinomios az con a ≠ 0.
Las únicas posibilidades en este caso son que k = 1 y A = { az : a ≠ 0}; o que k = 2 y A = { az / (1− bz ): a ≠ 0}. El primero es el pseudogrupo definido por el subgrupo afín del grupo complejo de Möbius (las transformaciones az + b que fijan ∞); este último es el pseudogrupo definido por todo el grupo complejo de Möbius.
Esta clasificación se puede reducir fácilmente a un problema algebraico de Lie, ya que el álgebra de Lie formal de G consta de campos vectoriales formales F ( z ) d / dz con F una serie de potencias formales. Contiene los campos de vectores polinomiales con base d n = z n +1 d / dz ( n ≥ 0), que es una subálgebra del álgebra de Witt. Los corchetes de Lie están dados por [ d m , d n ] = ( n - m ) d m + n . Nuevamente estos actúan sobre el espacio de polinomios de grado ≤ k por diferenciación —se puede identificar con C [[ z ]] / ( z k +1 ) —y las imágenes de d 0 , ..., d k - 1 dan una base del álgebra de Lie de G k . Tenga en cuenta que Ad ( S a ) d n = a - n d n . Dejardenotar el álgebra de Lie de A : es isomorfo a una subálgebra del álgebra de Lie de G k . Contiene d 0 y es invariante bajo Ad ( S a ). Desdees una subálgebra de Lie del álgebra de Witt, la única posibilidad es que tenga base d 0 o base d 0 , d n para algunos n ≥ 1. Hay elementos de grupo correspondientes de la forma f ( z ) = z + bz n + 1 + .... Al componer esto con traslaciones se obtiene T - f (ε) ∘ f ∘ T ε ( z ) = cz + dz 2 + ... con c , d ≠ 0. A menos que n = 2, esto contradice la forma del subgrupo A ; entonces n = 2. [16]
El derivado de Schwarzian está relacionado con el pseudogrupo del complejo grupo de Möbius. De hecho, si f es un biholomorphism definida en V entonces φ 2 ( f ) = S ( f ) es un diferencial cuadrática en V . Si g es un bihomolorfismo definido en U y g ( V ) ⊆ U , S ( f ∘ g ) y S ( g ) son diferenciales cuadráticos en U ; Además S ( f ) es un diferencial cuadrática en V , de modo que g * S (f) también es un diferencial cuadrática en U . La identidad
es, por tanto, el análogo de un 1-cociclo para el pseudogrupo de biholomorfismos con coeficientes en diferenciales cuadráticos holomórficos. similar y son 1-cociclos para el mismo pseudogrupo con valores en funciones holomórficas y diferenciales holomórficas. En general, se puede definir 1-cociclo para diferenciales holomórficos de cualquier orden, de modo que
Aplicando la identidad anterior a los mapas de inclusión j , se deduce que 𝜙 ( j ) = 0; y, por lo tanto, si f 1 es la restricción de f 2 , de modo que f 2 ∘ j = f 1 , entonces 𝜙 ( f 1 ) = 𝜙 ( f 2 ). Por otro lado, tomando el flujo holomórfico local definido por campos vectoriales holomórficos, —el exponencial de los campos vectoriales—, el pseudogrupo holomórfico de biholomorfismos locales es generado por campos vectoriales holomórficos. Si el 1-cociclo 𝜙 satisface las condiciones adecuadas de continuidad o analiticidad, induce un 1-cociclo de campos vectoriales holomórficos, también compatible con la restricción. En consecuencia, define un 1-cociclo en campos vectoriales holomórficos en C : [17]
Restringiendo al álgebra de Lie de campos vectoriales polinomiales con base d n = z n +1 d / dz ( n ≥ −1), estos se pueden determinar usando los mismos métodos de cohomología del álgebra de Lie (como en la sección anterior sobre homomorfismos cruzados) . Allí, el cálculo fue para todo el álgebra de Witt que actúa sobre densidades de orden k , mientras que aquí es solo para una subálgebra que actúa sobre diferenciales holomórficos (o polinomiales) de orden k . Nuevamente, asumiendo que 𝜙 desaparece en las rotaciones de C , hay 1-ciclos distintos de cero, únicos hasta los múltiplos escalares. solo para diferenciales de grado 0, 1 y 2 dados por la misma fórmula de derivada
donde p ( z ) es un polinomio.
Los 1-ciclos definen los tres pseudogrupos por 𝜙 k ( f ) = 0: esto da el grupo de escala ( k = 0); el grupo afín ( k = 1); y todo el grupo complejo de Möbius ( k = 2). Así que estos 1-cociclos son las ecuaciones diferenciales ordinarias especiales que definen el pseudogrupo. Más significativamente, se pueden usar para definir estructuras y conexiones afines o proyectivas correspondientes en superficies de Riemann. Si Γ es un pseudogrupo de asignaciones suaves en R n , se dice que un espacio topológico M tiene una estructura Γ si tiene una colección de gráficos f que son homeomorfismos de conjuntos abiertos V i en M a conjuntos abiertos U i en R n tal que, para cada intersección no vacía, el mapa natural a partir de f i ( U i ∩ U j ) a f j ( U i ∩ U j ) mentiras en Γ. Esto define la estructura de una variedad n suave si Γ consta de difeomorfismos locales y una superficie de Riemann si n = 2, de modo que R 2 ≡ C y Γ consta de biholomorfismos. Si Γ es el pseudogrupo afín, se dice que M tiene una estructura afín; y si Γ es el pseudogrupo de Möbius, se dice que M tiene una estructura proyectiva. Así, una superficie del género uno dada como C / Λ para alguna red la ⊂ C tiene una estructura afín; y una superficie del género p > 1 dada como el cociente del semiplano superior o disco unitario por un grupo fucsiano tiene una estructura proyectiva. [18]
Gunning (1966) describe cómo se puede revertir este proceso: para el género p > 1, la existencia de una conexión proyectiva, definida usando la derivada de Schwarzian 𝜙 2 y probada usando resultados estándar en cohomología, puede usarse para identificar la superficie de cobertura universal con el semiplano superior o disco unitario (un resultado similar es válido para el género 1, utilizando conexiones afines y 𝜙 1 ).
Notas
- ^ Weisstein, Eric W. "Derivado de Schwarzian". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram.
- ↑ Schiffer, 1966
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- ^ Lehto 1987 , p. 60
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- ↑ Klein, 1922
- ↑ Ahlfors, 1966
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- ^ Libermann
- ^ Gunning 1966
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