Primera variación

En matemáticas aplicadas y cálculo de variaciones , la primera variación de un funcional J ( y ) se define como el mapeo funcional lineal de la función h a ${\ Displaystyle \ delta J (y)}$

{\ Displaystyle \ delta J (y, h) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {J (y + \ varepsilon h) -J (y)} {\ varepsilon}} = \ left. {\ frac {d} {d \ varepsilon}} J (y + \ varepsilon h) \ right | _ {\ varepsilon = 0},}

donde y y h son funciones y ε es un escalar. Esto es reconocible como el derivado Gateaux de lo funcional.

Ejemplo

Calcule la primera variación de

{\ Displaystyle J (y) = \ int _ {a} ^ {b} yy'dx.}

De la definición anterior,

{\begin{aligned}\delta J(y,h)&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\right|_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx\end{aligned}}

Ver también

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