En el cálculo de variaciones , un campo de análisis matemático , la derivada funcional (o derivada variacional ) [1] relaciona un cambio en un Funcional (un funcional en este sentido es una función que actúa sobre funciones) con un cambio en una función en del cual depende el funcional.
En el cálculo de variaciones, los funcionales generalmente se expresan en términos de una integral de funciones, sus argumentos y sus derivadas . En una integral L de un funcional, si una función f se varía agregándole otra función δf que es arbitrariamente pequeña, y el integrando resultante se expande en potencias de δf , el coeficiente de δf en el término de primer orden se llama funcional derivado.
Por ejemplo, considere el funcional
donde f ′ ( x ) ≡ df / dx . Si f se varía agregándole una función δf , y el integrando resultante L ( x, f + δf, f '+ δf ′) se expande en potencias de δf , entonces el cambio en el valor de J a primer orden en δf puede expresarse de la siguiente manera: [1] [Nota 1]
donde la variación en la derivada, δf ′ se reescribió como la derivada de la variación ( δf ) ′ , y se utilizó la integración por partes .
En esta sección, se define la derivada funcional. Entonces, el diferencial funcional se define en términos de la derivada funcional.
Derivado funcional
Dada una variedad M que representa funciones ( continuas / suaves ) ρ (con ciertas condiciones de contorno, etc.), y una F funcional definida como
la derivada funcional de F [ ρ ], denotada como δF / δρ , se define mediante [2]
dónde es una función arbitraria. La cantidadse llama la variación de ρ .
En otras palabras,
es un funcional lineal, por lo que se puede aplicar el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani para representar este funcional como integración contra alguna medida . Entonces, δF / δρ se define como la derivada Radon-Nikodym de esta medida.
Uno piensa en la función δF / δρ como el gradiente de F en el punto ρ y
como la derivada direccional en el punto ρ en la dirección de ϕ . Luego, de manera análoga al cálculo vectorial, el producto interno con el gradiente da la derivada direccional.
Diferencial funcional
El diferencial (o variación o primera variación) del funcional es [3] [Nota 2]
Heurísticamente es el cambio en , así que 'formalmente' tenemos , y luego esto es similar en forma al diferencial total de una función,
dónde son variables independientes. Comparando las dos últimas ecuaciones, la derivada funcional tiene un papel similar al de la derivada parcial , donde la variable de integración es como una versión continua del índice de suma . [4]
Como la derivada de una función, la derivada funcional satisface las siguientes propiedades, donde F [ ρ ] y G [ ρ ] son funcionales: [Nota 3]
donde λ , μ son constantes.
- Si F es un funcional y G otro funcional, entonces [7]
- Si G es una función diferenciable ordinaria (funcional local) g , entonces esto se reduce a [8]
Una fórmula para determinar derivadas funcionales para una clase común de funcionales se puede escribir como la integral de una función y sus derivadas. Ésta es una generalización de la ecuación de Euler-Lagrange : de hecho, la derivada funcional se introdujo en física dentro de la derivación de la ecuación de Lagrange del segundo tipo a partir del principio de mínima acción en la mecánica de Lagrange (siglo XVIII). Los primeros tres ejemplos a continuación se toman de la teoría funcional de la densidad (siglo XX), el cuarto de la mecánica estadística (siglo XIX).
Fórmula
Dado un funcional
y una función ϕ ( r ) que desaparece en el límite de la región de integración, de una sección anterior Definición ,
La segunda línea se obtiene usando la derivada total , donde ∂f / ∂∇ ρ es una derivada de un escalar con respecto a un vector . [Nota 4]
La tercera línea se obtuvo mediante el uso de una regla de producto para la divergencia . La cuarta línea se obtuvo utilizando el teorema de la divergencia y la condición de que ϕ = 0 en el límite de la región de integración. Dado que ϕ también es una función arbitraria, aplicando el lema fundamental del cálculo de variaciones a la última línea, la derivada funcional es
donde ρ = ρ ( r ) yf = f ( r , ρ , ∇ ρ ). Esta fórmula es para el caso de la forma funcional dada por F [ ρ ] al comienzo de esta sección. Para otras formas funcionales, la definición de la derivada funcional se puede utilizar como punto de partida para su determinación. (Vea el ejemplo funcional de energía potencial de Coulomb ).
La ecuación anterior para la derivada funcional se puede generalizar al caso que incluye dimensiones superiores y derivadas de orden superior. El funcional sería,
donde el vector r ∈ ℝ n , y ∇ ( i ) es un tensor cuyos n i componentes son operadores de derivadas parciales de orden i ,
- [Nota 5]
Una aplicación análoga de la definición de los rendimientos de la derivada funcional
En las dos últimas ecuaciones, las n i componentes del tensorson derivadas parciales de f con respecto a derivadas parciales de ρ ,
y el producto escalar tensorial es,
- [Nota 6]
Ejemplos de
Energía cinética de Thomas-Fermi funcional
El modelo de Thomas-Fermi de 1927 utilizó una energía cinética funcional para un gas de electrones uniforme que no interactúa en un primer intento de teoría de la densidad funcional de la estructura electrónica:
Dado que el integrando de T TF [ ρ ] no involucra derivadas de ρ ( r ) , la derivada funcional de T TF [ ρ ] es, [9]
Energía potencial de Coulomb funcional
Para el potencial de núcleo de electrones , Thomas y Fermi emplearon la energía potencial de Coulomb funcional
Aplicando la definición de derivada funcional,
Entonces,
Para la parte clásica de la interacción electrón-electrón , Thomas y Fermi emplearon el funcional de energía potencial de Coulomb
De la definición de la derivada funcional ,
Los términos primero y segundo en el lado derecho de la última ecuación son iguales, ya que r y r ′ en el segundo término se pueden intercambiar sin cambiar el valor de la integral. Por lo tanto,
y la derivada funcional de la energía potencial de culombio electrón-electrón funcional J [ ρ ] es, [10]
La segunda derivada funcional es
Energía cinética Weizsäcker funcional
En 1935 von Weizsäcker propuso agregar una corrección de gradiente a la función de energía cinética de Thomas-Fermi para que se adaptara mejor a una nube de electrones moleculares:
dónde
Usando una fórmula derivada previamente para el derivado funcional,
y el resultado es, [11]
Entropía
La entropía de una variable aleatoria discreta es una función de la función de masa de probabilidad .
Por lo tanto,
Por lo tanto,
Exponencial
Dejar
Usando la función delta como función de prueba,
Por lo tanto,
Esto es particularmente útil para calcular las funciones de correlación a partir de la función de partición en la teoría cuántica de campos .
Derivada funcional de una función
Una función se puede escribir en forma de integral como funcional. Por ejemplo,
Dado que el integrando no depende de las derivadas de ρ , la derivada funcional de ρ ( r ) es,
Derivada funcional de la función iterada
La derivada funcional de la función iterada es dado por:
y
En general:
Poniendo N = 0 da:
En física, es común utilizar la función delta de Dirac en lugar de una función de prueba genérica , para obtener la derivada funcional en el punto (este es un punto de la derivada funcional completa ya que una derivada parcial es un componente del gradiente): [12]
Esto funciona en los casos en que formalmente se puede expandir como una serie (o al menos hasta el primer orden) en . Sin embargo, la fórmula no es matemáticamente rigurosa, ya que por lo general ni siquiera está definido.
La definición dada en una sección anterior se basa en una relación que se cumple para todas las funciones de prueba ϕ , por lo que se podría pensar que debería ser válida también cuando ϕ se elige para ser una función específica, como la función delta . Sin embargo, esta última no es una función de prueba válida (ni siquiera es una función adecuada).
En la definición, la derivada funcional describe cómo la cambios como resultado de un pequeño cambio en toda la función . La forma particular del cambio en no se especifica, pero debe extenderse a lo largo de todo el intervalo en el que se define. Emplear la forma particular de la perturbación dada por la función delta tiene el significado de que se varía solo en el punto . Excepto por este punto, no hay variación en.