En matemáticas , el diferencial de Gateaux o derivado de Gateaux es una generalización del concepto de derivada direccional en cálculo diferencial . Nombrado en honor a René Gateaux , un matemático francés que murió joven en la Primera Guerra Mundial , se define por funciones entre espacios vectoriales topológicos localmente convexos como los espacios de Banach . Como la derivada de Fréchet en un espacio de Banach, el diferencial de Gateaux se usa a menudo para formalizar la derivada funcional comúnmente usada en el cálculo de variaciones yfísica .
A diferencia de otras formas de derivadas, el diferencial de Gateaux de una función puede ser no lineal . Sin embargo, a menudo la definición del diferencial de Gateaux también requiere que sea una transformación lineal continua . Algunos autores, como Tikhomirov (2001) , trazan una distinción adicional entre el diferencial de Gateaux (que puede ser no lineal) y la derivada de Gateaux (que consideran lineal). En la mayoría de las aplicaciones, la linealidad continua se deriva de alguna condición más primitiva que es natural en el entorno particular, como imponer una diferenciación compleja en el contexto de la holomorfia dimensional infinita o la diferenciación continua en el análisis no lineal.
Definición
Suponer y son espacios vectoriales topológicos localmente convexos (por ejemplo, espacios de Banach ), está abierto, y . El diferencial de Gateaux de a en la dirección Se define como
( 1 )
Si el límite existe para todos , entonces uno dice que ¿Gateaux es diferenciable en .
El límite que aparece en ( 1 ) se toma en relación con la topología de. Si y son espacios vectoriales topológicos reales , entonces el límite se toma por real. Por otro lado, si y son espacios vectoriales topológicos complejos , entonces el límite anterior generalmente se toma comoen el plano complejo como en la definición de diferenciación compleja . En algunos casos, se toma un límite débil en lugar de un límite fuerte, lo que lleva a la noción de una derivada Gateaux débil.
Linealidad y continuidad
En cada punto , el diferencial Gateaux define una función
Esta función es homogénea en el sentido de que para todos los escalares ,
Sin embargo, esta función no necesita ser aditiva, por lo que el diferencial de Gateaux puede no ser lineal, a diferencia de la derivada de Fréchet . Incluso si es lineal, puede no depender continuamente de Si y son de dimensión infinita. Además, para los diferenciales Gateaux que son lineales y continuos en, hay varias formas desiguales de formular su diferenciabilidad continua .
Por ejemplo, considere la función de valor real de dos variables reales definidas por
Este es Gateaux diferenciable en (0, 0) , con su diferencial allí
Sin embargo, esto es continuo pero no lineal en los argumentos. . En infinitas dimensiones, cualquier funcional lineal discontinuo en es Gateaux diferenciable, pero su diferencial Gateaux en es lineal pero no continuo.
- Relación con la derivada de Fréchet
Si es Fréchet diferenciable, entonces también es Gateaux diferenciable, y sus derivados Fréchet y Gateaux concuerdan. Lo contrario claramente no es cierto, ya que la derivada de Gateaux puede no ser lineal o continua. De hecho, incluso es posible que la derivada de Gateaux sea lineal y continua, pero que la derivada de Fréchet no exista.
Sin embargo, para funciones desde un complejo espacio de Banach a otro espacio complejo de Banach , la derivada de Gateaux (donde el límite se toma sobre el complejo que tiende a cero como en la definición de diferenciabilidad compleja ) es automáticamente lineal, un teorema de Zorn (1945) . Además, si es (complejo) Gateaux diferenciable en cada con derivada
luego ¿Fréchet es diferenciable en con derivado de Fréchet ( Zorn 1946 ). Esto es análogo al resultado del análisis complejo básico de que una función es analítica si es complejamente diferenciable en un conjunto abierto, y es un resultado fundamental en el estudio de la holomorfia dimensional infinita .
- Diferenciabilidad continua
La diferenciabilidad de Continuous Gateaux puede definirse de dos formas desiguales. Suponer que ¿Gateaux es diferenciable en cada punto del conjunto abierto? . Una noción de diferenciabilidad continua enrequiere que el mapeo en el espacio del producto
ser continuo . No es necesario asumir la linealidad: si y son espacios de Fréchet, entonces está delimitado automáticamente y es lineal para todos ( Hamilton 1982 ).
Una noción más sólida de diferenciabilidad continua requiere que
ser un mapeo continuo
de al espacio de funciones lineales continuas desde a . Tenga en cuenta que esto ya presupone la linealidad de.
Por conveniencia técnica, esta última noción de diferenciabilidad continua es típica (pero no universal) cuando los espacios y son Banach, ya que también es Banach y, a continuación, se pueden emplear los resultados estándar del análisis funcional. La primera es la definición más común en áreas de análisis no lineal donde los espacios funcionales involucrados no son necesariamente espacios de Banach. Por ejemplo, la diferenciación en espacios de Fréchet tiene aplicaciones como el teorema de la función inversa de Nash-Moser en el que los espacios funcionales de interés a menudo consisten en funciones suaves en una variedad .
Derivadas superiores
Mientras que las derivadas de Fréchet de orden superior se definen naturalmente como funciones multilineales por iteración, utilizando los isomorfismos, la derivada de Gateaux de orden superior no se puede definir de esta manera. En cambio, elth orden Gateaux derivada de una función en la dirección es definido por
( 2 )
En lugar de una función multilineal, se trata de una función homogénea de grado en .
Hay otro candidato para la definición de la derivada de orden superior, la función
( 3 )
que surge naturalmente en el cálculo de variaciones como la segunda variación de, al menos en el caso especial donde tiene un valor escalar. Sin embargo, esto puede no tener propiedades razonables en absoluto, además de ser homogéneo por separado en y . Es deseable tener condiciones suficientes para asegurar que es una función bilineal simétrica de y , y que concuerda con la polarización de.
Por ejemplo, se cumple la siguiente condición suficiente ( Hamilton 1982 ). Suponer que es en el sentido de que el mapeo
es continua en la topología del producto, y además que la segunda derivada definida por ( 3 ) también es continua en el sentido de que
es continuo. Luego es bilineal y simétrico en y . En virtud de la bilinealidad, la identidad de polarización se mantiene
relacionar la derivada de segundo orden con el diferencial . Conclusiones similares son válidas para derivados de orden superior.
Propiedades
Una versión del teorema fundamental del cálculo es válida para la derivada de Gateaux de, previsto se supone que es suficientemente diferenciable de forma continua. Específicamente:
- Suponer que es en el sentido de que la derivada de Gateaux es una función continua . Entonces para cualquier y ,
- donde la integral es la integral de Gelfand-Pettis (la integral débil) ( Vainberg (1964) ).
Muchas de las otras propiedades familiares de la derivada se derivan de esto, como la multilinealidad y la conmutatividad de las derivadas de orden superior. Otras propiedades, también consecuencias del teorema fundamental, incluyen:
- ( La regla de la cadena )
- para todos y . (Tenga en cuenta que, al igual que con las derivadas parciales simples , la derivada de Gateaux no satisface la regla de la cadena si se permite que la derivada sea discontinua).
- ( Teorema de Taylor con resto )
- Suponga que el segmento de recta entre y yace completamente dentro . Si es luego
- donde el término restante viene dado por
- Suponga que el segmento de recta entre y yace completamente dentro . Si es luego
Ejemplo
Dejar ser el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en un conjunto medible de Lebesgue en el espacio euclidiano . El funcional
dónde es una verdadera función -valued de una variable real y se define en con valores reales, tiene derivada Gateaux
De hecho, lo anterior es el límite de
Ver también
- Derivado de Hadamard
- Derivado (generalizaciones)
- Diferenciación en los espacios Fréchet
- Derivado fractal
- Cuasi derivado
- Análisis cuaterniónico
Referencias
- Gateaux, R (1913), "Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles analytiques" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , París, 157 : 325–327 , consultado el 2 de septiembre de 2012.
- Gateaux, R (1919), "Fonctions d'une infinité de variables indépendantes" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 47 : 70–96.
- Hamilton, RS (1982), "El teorema de la función inversa de Nash y Moser" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 7 (1): 65–222, doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2 , MR 0656198
- Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Análisis funcional y semigrupos , Providence, RI: American Mathematical Society , MR 0423094.
- Tikhomirov, VM (2001) [1994], "Variación de Gâteaux" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
- Vainberg, MM (1964), Métodos variacionales para el estudio de operadores no lineales , San Francisco, Londres, Amsterdam: Holden-Day, Inc, p. 57
- Zorn, Max (1945), "Caracterización de funciones analíticas en espacios de Banach", Annals of Mathematics , Second Series, 46 (4): 585–593, doi : 10.2307 / 1969198 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969198 , MR 0014190.
- Zorn, Max (1946), "Derivatives and Frechet differentials" , Bulletin of the American Mathematical Society , 52 (2): 133-137, doi : 10.1090 / S0002-9904-1946-08524-9 , MR 0014595.