El lema de Fitting , llamado así por el matemático Hans Fitting , es una declaración básica en álgebra abstracta . Supongamos que M es un módulo sobre algún anillo . Si M es indecomponible y tiene una longitud finita , entonces cada endomorfismo de M es un automorfismo o nilpotente . [1]
Como consecuencia inmediata, vemos que el anillo de endomorfismo de cada módulo indecomponible de longitud finita es local .
Una versión del lema de Fitting se usa a menudo en la teoría de la representación de grupos . De hecho, este es un caso especial de la versión anterior, ya que cada representación lineal K de un grupo G puede verse como un módulo sobre el álgebra de grupo KG .
Para probar el lema de Fitting, tomamos un endomorfismo f de M y consideramos las siguientes dos secuencias de submódulos:
- La primera secuencia es la secuencia descendente ,
- la segunda secuencia es la secuencia ascendente
Porque tiene una longitud finita, ambas secuencias deben estabilizarse eventualmente, por lo que hay algunos con para todos , y algo con para todos .
Vamos ahora y tenga en cuenta que por construcción y .
Afirmamos que . De hecho, cada satisface para algunos pero también , así que eso , por lo tanto y por lo tanto .
Es más, : para cada , existe algo tal que (desde ), y por lo tanto , así que eso y por lo tanto .
Como consecuencia, es la suma directa de y . Porque es indecomponible, uno de esos dos sumandos debe ser igual a , y el otro debe ser el submódulo trivial. Dependiendo de cuál de los dos sumandos es cero, encontramos quees biyectiva o nilpotente. [2]