Subgrupo de punto fijo

En álgebra , el subgrupo de coma fija ${\ Displaystyle G ^ {f}}$ de un automorfismo f de un grupo G es el subgrupo de G :

{\ Displaystyle G ^ {f} = \ {g \ in G \ mid f (g) = g \}.}

De manera más general, si S es un conjunto de automorfismos de G (es decir, un subconjunto del grupo de automorfismos de G ), entonces el conjunto de los elementos de G que quedan fijos por cada automorfismo en S es un subgrupo de G , denotado por G ^S .

Por ejemplo, tome G como el grupo de n- por- n matrices reales invertibles y ${\ Displaystyle f (g) = (g ^ {T}) ^ {- 1}}$ (llamada involución de Cartan ). Luego ${\ Displaystyle G ^ {f}}$ es el grupo ${\ Displaystyle O (n)}$ de n- por- n matrices ortogonales .

Para dar un ejemplo abstracto, vamos S ser un subconjunto de un grupo G . Entonces cada elemento s de S puede asociarse con el automorfismo ${\ Displaystyle g \ mapsto sgs ^ {- 1}}$ , es decir, conjugación por s . Luego

{\ Displaystyle G ^ {S} = \ {g \ in G \ mid sgs ^ {- 1} = g {\ text {para todos}} s \ in S \}}

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es decir, el centralizador de S .

Referencias

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