En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el centralizador (también llamado conmutador [1] [2] ) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto de elementosde G tal que cada miembro conmuta con cada elemento de S , o de manera equivalente, de modo que la conjugación pordeja cada elemento de S fijo. El normalizador de S en G es el conjunto de elementosde G que satisfacen la condición más débil de dejar el conjuntofijado bajo conjugación. El centralizador y normalizador de S son subgrupos de G . Muchas técnicas de la teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de los subconjuntos S adecuados .
Adecuadamente formuladas, las definiciones también se aplican a monoides y semigrupos .
En la teoría de anillos , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R . Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie .
El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.
Definiciones
Grupo y semigrupo
El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como [3]
donde solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, se puede suprimir la G de la notación. Cuando S = { a } es un conjunto singleton , escribimos C G ( a ) en lugar de C G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z ( a ), que es paralela a la notación del centro . Con esta última notación, se debe tener cuidado de evitar la confusión entre el centro de un grupo G , Z ( G ) y el centralizador de un elemento g en G , Z ( g ).
El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como
donde nuevamente solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Las definiciones son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en S , con t posiblemente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S solo necesitan conmutar con S como conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .
Claramente y ambos son subgrupos de .
Anillo, álgebra sobre un campo, anillo de Lie y álgebra de Lie
Si R es un anillo o un álgebra sobre un campo , y S es un subconjunto de R , a continuación, el centralizador de S es exactamente como se define para grupos, con R en el lugar de G .
Si es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con el producto de Lie [ x , y ], entonces el centralizador de un subconjunto S dese define como [4]
La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces a R se le puede dar el producto de paréntesis [ x , y ] = xy - yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y solo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto soporte como L R , entonces claramente la centralizador anillo de S en R es igual a la centralizador anillo Lie de S en L R .
El normalizador de un subconjunto S de un álgebra de Lie (o anillo de Lie)viene dado por [4]
Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en el álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S en. Si S es un subgrupo aditivo de, luego es el subanillo de Lie más grande (o subálgebra de Lie, según sea el caso) en el que S es un ideal de Lie . [5]
Propiedades
Semigrupos
Dejar denotar el centralizador de en el semigrupo , es decir Luego forma un subgrupo y, es decir, un conmutador es su propio bicomutante .
Grupos
Fuente: [6]
- El centralizador y normalizador de S son ambos subgrupos de G .
- Claramente, . De echo,es siempre un subgrupo normal de, siendo el núcleo del homomorfismo y el grupo actúa por conjugación como un grupo de biyecciones en . Por ejemplo, el grupo de Weyl de un grupo de Lie compacto con un toro Se define como , y especialmente si el toro es máximo (es decir ) es una herramienta central en la teoría de grupos de Lie.
- C G ( C G ( S )) contiene S , pero C G ( S ) necesidad no contiene S . La contención ocurre exactamente cuando S es abeliano.
- Si H es un subgrupo de G , entonces N G ( H ) contiene H .
- Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande de G en el que H es normal es el subgrupo N G (H).
- Si S es un subconjunto de G tal que todos los elementos de S se conmutan entre sí, entonces el subgrupo más grande de G cuyo centro contiene S es el subgrupo C G (S).
- Un subgrupo H de un grupo G se llama un subgrupo auto-normalización de G si N G ( H ) = H .
- El centro de G es exactamente C G (G) y G es un grupo abeliano si y sólo si C G (G) = Z ( G ) = G .
- Para conjuntos singleton, C G ( a ) = N G ( a ).
- Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G , T ⊆ C G ( S ) si y solo si S ⊆ C G ( T ).
- Para un subgrupo H de grupo G , el N / C teorema afirma que el grupo de factor de N G ( H ) / C G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut ( H ), el grupo de automorfismos de H . Dado que N G ( G ) = G y C G ( G ) = Z ( G ), el teorema de N / C también implica que G / Z ( G ) es isomorfo a Inn ( G ), el subgrupo de Aut ( G ) que consiste de todos los automorfismos interiores de G .
- Si definimos un homomorfismo de grupo T : G → Inn ( G ) por T ( x ) ( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , entonces podemos describir N G ( S ) y C G ( S ) en términos de la acción de grupo de Inn ( G ) sobre G : el estabilizador de S en Inn ( G ) es T ( N G ( S )), y el subgrupo de Inn ( G ) que fija S puntualmente es T ( C G ( S ) ).
- Un subgrupo H de un grupo G se dice que es C-cerrado o auto-bicommutant si H = C G ( S ) para algún subconjunto S ⊆ G . Si es así, entonces, de hecho, H = C G ( C G ( H )).
Anillos y álgebras sobre un campo
Fuente: [4]
- Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un campo son subanillos y subálgebras sobre un campo, respectivamente; los centralizadores en los anillos de Lie y en las álgebras de Lie son subanillos de Lie y subálgebras de Lie, respectivamente.
- El normalizador de S en un anillo Lie contiene el centralizador de S .
- C R ( C R ( S )) contiene S pero no es necesariamente igual. El teorema del doble centralizador se ocupa de situaciones en las que se produce la igualdad.
- Si S es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N A ( S ) es el subanillo de Lie más grande de A en el que S es un ideal de Lie.
- Si S es un subanillo de Lie de un anillo de Lie A , entonces S ⊆ N A ( S ).
Ver también
- Conmutador
- Teorema del doble centralizador
- Idealizador
- Multiplicadores y centralizadores (espacios de Banach)
- Subgrupo de estabilizadores
Notas
- ^ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Temas avanzados en álgebra lineal: tejiendo problemas de matrices a través de la forma de Weyr . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
- ^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). La Teoría de Lie de los Grupos Pro-Lie Conectados: Una Teoría de la Estructura para Álgebras Pro-Lie, Grupos Pro-Lie y Grupos Compactos Localmente Conectados . Sociedad Matemática Europea . pag. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
- ↑ Jacobson (2009), p. 41
- ↑ a b c Jacobson , 1979 , p.28.
- ^ Jacobson 1979 , p.57.
- ^ Isaacs 2009 , Capítulos 1-3.
Referencias
- Isaacs, I. Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado , Estudios de posgrado en matemáticas , 100 (reimpresión de la edición original de 1994), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / gsm / 100 , ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
- Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , 1 (2 ed.), Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-47189-1
- Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (reedición de la edición original de 1962), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927