En álgebra abstracta , la dimensión débil de un módulo derecho distinto de cero M sobre un anillo R es el número más grande n tal que el grupo Tor es distinto de cero para algún módulo R izquierdo N (o infinito si no existe el n mayor ), y la dimensión débil de un módulo R izquierdo se define de manera similar. La dimensión débil fue introducida por Henri Cartan y Samuel Eilenberg ( 1956 , p.122). La dimensión débil a veces se denomina dimensión plana, ya que es la longitud más corta de una resolución del módulo por módulos planos . La dimensión débil de un módulo es a lo sumo igual a su dimensión proyectiva .
La dimensión global débil de un anillo es el mayor número n tal quees distinto de cero para algunos R -módulo M derecho y R -módulo N izquierdo . Si no existe tal número n mayor , la dimensión global débil se define como infinita. Es como máximo igual a la izquierda oa la derecha dimensión global del anillo R .
Ejemplos de
- El módulo de números racionales sobre el anillo de enteros tiene una dimensión débil 0, pero una dimensión proyectiva 1.
- El módulo sobre el anillo tiene una dimensión débil 1, pero una dimensión inyectiva 0.
- El módulo sobre el anillo tiene una dimensión 0 débil, pero una dimensión inyectiva 1.
- Un dominio de Prüfer tiene una dimensión global débil como máximo 1.
- Un anillo regular de Von Neumann tiene una dimensión global débil 0.
- Un producto de un número infinito de campos tiene una dimensión global 0 débil, pero su dimensión global es distinta de cero.
- Si un anillo es noetheriano correcto, entonces la dimensión global derecha es la misma que la dimensión global débil, y es como mucho la dimensión global izquierda. En particular, si un anillo es Noetheriano de derecha e izquierda, entonces las dimensiones globales izquierda y derecha y la dimensión global débil son todas iguales.
- El anillo de matriz triangular tiene una dimensión global derecha 1, una dimensión global débil 1, pero una dimensión global izquierda 2. Es noetheriana derecha, pero no noetheriana izquierda.
Referencias
- Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica , Princeton Mathematical Series, 19 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04991-5, MR 0077480
- Năstăsescu, Constantin; Van Oystaeyen, Freddy (1987), Dimensiones de la teoría de anillos , Matemáticas y sus aplicaciones, 36 , D. Reidel Publishing Co., doi : 10.1007 / 978-94-009-3835-9 , ISBN 9789027724618, MR 0894033