En matemáticas , un anillo regular de von Neumann es un anillo R (asociativo, con 1, no necesariamente conmutativo) tal que para cada elemento a en R existe una x en R con a = axa . Se puede pensar en x como un "inverso débil" del elemento a; en general, x no está determinado únicamente por a . Los anillos regulares de Von Neumann también se denominan anillos absolutamente planos , porque estos anillos se caracterizan por el hecho de que cada módulo R izquierdo esplana .
Los anillos regulares de Von Neumann fueron introducidos por von Neumann ( 1936 ) bajo el nombre de "anillos regulares", en el curso de su estudio de las álgebras de von Neumann y la geometría continua . Los anillos regulares de Von Neumann no deben confundirse con los anillos regulares no relacionados y los anillos locales regulares del álgebra conmutativa .
Un elemento a de un anillo se llama elemento regular de von Neumann si existe una x tal que a = axa . [1] Un idealse llama un ideal regular (von Neumann) si para cada elemento a enexiste un elemento x ental que a = axa . [2]
Ejemplos de
Cada campo (y cada campo de sesgo ) es regular de von Neumann: para a a 0 podemos tomar x = a −1 . [1] Un dominio integral es regular de von Neumann si y solo si es un campo. Cada producto directo de los anillos regulares de von Neumann es nuevamente regular de von Neumann.
Otra clase importante de ejemplos de von Neumann anillos regulares son los anillos M n ( K ) de n -by- n matrices cuadradas con las entradas de algún campo K . Si r es el rango de A ∈ M n ( K ) , la eliminación gaussiana da matrices invertibles U y V tales que
(donde I r es la matriz de identidad r- por- r ). Si establecemos X = V −1 U −1 , entonces
De manera más general, el anillo de matriz nxn sobre cualquier anillo regular de von Neumann es nuevamente regular de von Neumann. [1]
Si V es un espacio vectorial sobre un campo (o campo skew ) K , entonces el anillo endormorphism End K ( V ) es von Neumann regular, incluso si V no es de dimensión finita. [3]
El anillo de operadores afiliados de un álgebra de von Neumann finita es regular de von Neumann.
Un anillo booleano es un anillo en el que cada elemento satisface a 2 = a . Cada anillo booleano es von Neumann regular.
Hechos
Las siguientes declaraciones son equivalentes para el anillo R :
- R es von Neumann regular
- Todo ideal principal de izquierda es generado por un elemento idempotente.
- cada ideal de izquierda finitamente generado es generado por un idempotente
- todos los directores ideales izquierda es un sumando directo de la izquierda R -módulo R
- todo ideal izquierda finitamente generado es un sumando directo de la izquierda R -módulo R
- cada submódulo generado de forma finita de un R- módulo proyectivo izquierdo P es una suma directa de P
- cada módulo R izquierdo es plano : esto también se conoce como R que es absolutamente plano , o R que tiene una dimensión débil 0.
- cada breve secuencia exacta de módulos R izquierdos es pura exacta
Las declaraciones correspondientes para los módulos de la derecha también son equivalentes a que R sea von Neumann regular.
En un anillo regular conmutativo de von Neumann, para cada elemento x hay un elemento único y tal que xyx = x y yxy = y , por lo que hay una forma canónica de elegir el "inverso débil" de x . Las siguientes declaraciones son equivalentes para el anillo conmutativo R :
- R es von Neumann regular
- R tiene dimensión Krull 0 y se reduce
- Cada localización de R en un ideal máximo es un campo
- R es un subanillo de un producto de campos cerrados tomando "inversos débiles" de x ∈ R (el elemento único y tal que xyx = x y yxy = y ).
- R es un anillo en V . [4]
Además, los siguientes son equivalentes: para un anillo conmutativo A
- R = A / nil ( A ) es von Neumann regular.
- El espectro de A es Hausdorff (en la topología de Zariski ).
- La topología constructible y la topología de Zariski para Spec ( A ) coinciden.
Generalizando el ejemplo anterior, suponga que S es un anillo y M es un módulo S tal que cada submódulo de M es un sumando directo de M (tales módulos M se llaman semisimple ). Entonces, el anillo de endomorfismo End S ( M ) es von Neumann regular. En particular, cada anillo semisimple es von Neumann regular. De hecho, los anillos semisimplejos son precisamente los anillos regulares de Noetherian von Neumann.
Cada anillo regular de von Neumann tiene el radical de Jacobson {0} y, por lo tanto, es semiprimitivo (también llamado "semi-simple de Jacobson").
Generalizaciones y especializaciones
Los tipos especiales de anillos regulares de von Neumann incluyen anillos regulares unitarios y anillos regulares y anillos de rango fuertemente de von Neumann .
Un anillo R se llama unidad regular si para cada a en R , hay una unidad u en R tal que a = aua . Cada anillo semisimple es una unidad regular, y los anillos unitarios regulares son anillos directamente finitos . Un anillo regular de von Neumann ordinario no necesita ser directamente finito.
Un anillo R se llama fuertemente regular de von Neumann si para cada a en R , hay algo de x en R con a = aax . La condición es simétrica de izquierda a derecha. Los anillos fuertemente regulares de von Neumann son unidades regulares. Cada anillo regular fuertemente von Neumann es un producto subdirecto de los anillos de división . En cierto sentido, esto imita más de cerca las propiedades de los anillos regulares conmutativos de von Neumann, que son productos subdirectos de campos. Por supuesto, para los anillos conmutativos, von Neumann regular y fuertemente von Neumann regular son equivalentes. En general, los siguientes son equivalentes para un anillo R :
- R es fuertemente regular de von Neumann
- R es von Neumann regular y reducido
- R es von Neumann regular y cada idempotente en R es central
- Todo ideal de izquierda principal de R es generado por un idempotente central
Las generalizaciones de los anillos regulares de von Neumann incluyen anillos π -regulares, anillos semienreditarios izquierdo / derecho, anillos no singulares izquierdo / derecho y anillos semiprimitivos .
Ver también
- Semigrupo regular
- Inversa débil
Notas
- ↑ a b c Kaplansky (1972) p.110
- ^ Kaplansky (1972) p.112
- ^ Skornyakov
- ^ Michler, vaya; Villamayor, OE (abril de 1973). "Sobre anillos cuyos módulos simples son inyectables" . Revista de álgebra . 25 (1): 185-201. doi : 10.1016 / 0021-8693 (73) 90088-4 .
Referencias
- Kaplansky, Irving (1972), Campos y anillos , conferencias de matemáticas en Chicago (segunda ed.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl 1001.16500
- LA Skornyakov (2001) [1994], "Anillo regular (en el sentido de von Neumann)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Otras lecturas
- Goodearl, KR (1991), anillos regulares de von Neumann (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., págs. Xviii + 412, ISBN 0-89464-632-X, MR 1150975 , Zbl 0.749,16001
- von Neumann, John (1936), "Sobre los anillos regulares", Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU. , 22 (12): 707–712, doi : 10.1073 / pnas.22.12.707 , JFM 62.1103.03 , PMC 1076849 , PMID 16577757 , Zbl 0015.38802
- von Neumann, John (1960), geometrías continuas , Princeton University Press , Zbl 0171.28003