En álgebra abstracta , el teorema del subgrupo focal describe la fusión de elementos en un subgrupo de Sylow de un grupo finito . El teorema del subgrupo focal se introdujo en ( Higman 1953 ) y es la "primera aplicación importante de la transferencia" según ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , p. 90). El teorema del subgrupo focal relaciona las ideas de transferencia y fusión como se describe en ( Grün 1936 ). Varias aplicaciones de estas ideas incluyen criterios locales para p -nilpotencia y varios criterios de no simplicidad que se centran en mostrar que un grupo finito tiene un subgrupo normal deíndice p .
Fondo
El teorema del subgrupo focal relaciona varias líneas de investigación en la teoría de grupos finitos: subgrupos normales de índice a potencia de p , homomorfismo de transferencia y fusión de elementos.
Subgrupos
Los siguientes tres subgrupos normales de índice a potencia de p se definen naturalmente y surgen como los subgrupos normales más pequeños de manera que el cociente es (un cierto tipo de) grupo p . Formalmente, son granos de la reflexión sobre la subcategoría reflexiva de p -grupos (respectivamente, elementales abelianos p -Grupos, abelianos p -Grupos).
- E p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales del índice p ; G / E p ( G ) es un grupo abeliano elemental, y es el grupo p abeliano elemental más grande en el que G se sobreyecta.
- Una p ( G ) (notación de ( Isaacs 2008 , 5D, p. 164)) es la intersección de todos los subgrupos normales K de manera que G / K es un grupo p abeliano (es decir, K es un índice subgrupo normal que contiene el grupo derivado ): G / A p ( G ) es el grupo p abeliano más grande (no necesariamente elemental) al que G se sobreyecta.
- O p ( G ) es la intersección de todos los subgrupos normales K de G tal que G / K es un grupo p (posiblemente no abeliano) (es decir, K es un índicesubgrupo normal): G / O p ( G ) es el grupo p más grande (no necesariamente abeliano) en el que G se sobreyecta. O p ( G ) también se conoce comop -subgrupo residual .
En primer lugar, como se trata de condiciones más débiles en los grupos K, se obtienen las contención Estos se relacionan además como:
- A p ( G ) = O p ( G ) [ G , G ].
O p ( G ) tiene la siguiente caracterización alternativa como el subgrupo generado por todos los q -subgrupos de G de Sylow cuando q ≠ p varía sobre los divisores primos del orden de G distintos de p .
O p ( G ) se utiliza para definir los inferiores p -seriesde G , al igual que los superiores p -series se describe en p-core .
Transferencia de homomorfismo
El homomorfismo de transferencia es un homomorfismo que se puede definir desde cualquier grupo G al grupo abeliano H / [ H , H ] definido por un subgrupo H ≤ G de índice finito , es decir [ G : H ] <∞. El mapa de transferencia de un grupo finito G a su subgrupo p de Sylow tiene un núcleo que es fácil de describir:
- El núcleo del homomorfismo de transferencia de un grupo finito G en su Sylow p -subgroup P tiene un p ( G ) como su núcleo, ( Isaacs 2008 , el teorema 5.20, p. 165).
En otras palabras, el homomorfismo "obvio" en un grupo p abeliano es de hecho el homomorfismo más general.
Fusión
El patrón de fusión de un subgrupo H en G es la relación de equivalencia en los elementos de H donde dos elementos h , k de H se fusionan si son G -conjugados, es decir, si hay algo de g en G tal que h = k g . La estructura normal de G tiene un efecto sobre el patrón de fusión de sus subgrupos p de Sylow y, a la inversa, el patrón de fusión de sus subgrupos p de Sylow tiene un efecto sobre la estructura normal de G ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , p. 89).
Subgrupo focal
Se puede definir, como en ( Isaacs 2008 , p. 165) el subgrupo focal de H con respecto a G como:
- Foc G ( H ) = ⟨ x -1 y | x , y en H y x es G -conjugate a y ⟩.
Este focales medidas subgrupo la medida en que los elementos de H fusible en G , mientras que la definición anterior mide cierta abeliano p -Grupo imágenes homomórficas del grupo G . El contenido del teorema del subgrupo focal es que estas dos definiciones de subgrupo focal son compatibles.
( Gorenstein 1980 , p. 246) muestra que el subgrupo focal de P en G es la intersección P ∩ [ G , G ] de la Sylow p -subgroup P del grupo finito G con el subgrupo derivado [ G , G ] de G . El subgrupo focal es importante ya que es un subgrupo p de Sylow del subgrupo derivado. También se obtiene el siguiente resultado:
- Existe un subgrupo normal K de G con G / K un abeliano p -Grupo isomorfo a P / P ∩ [ G , G ] (aquí K denota A p ( G )), y
- si K es un subgrupo normal de G con G / K un grupo p abeliano, entonces P ∩ [ G , G ] ≤ K , y G / K es una imagen homomórfica de P / P ∩ [ G , G ], ( Gorenstein 1980 , Teorema 7.3.1, pág.90).
Declaración del teorema
El subgrupo focal de un grupo finito G con Sylow p -subgrupo P está dado por:
- P ∩ [ G , G ] = P ∩ A p ( G ) = P ∩ker ( v ) = Foc G ( P ) = ⟨ x -1 y | x , y en P y x es G -conjugate a y ⟩
donde v es el homomorfismo de transferencia de G a P / [ P , P ], ( Isaacs 2008 , Teorema 5.21, p. 165).
Historia y generalizaciones
Esta conexión entre transferencia y fusión se atribuye a ( Higman 1958 ) , [1] donde, en un lenguaje diferente, se demostró el teorema del subgrupo focal junto con varias generalizaciones. Se eliminó el requisito de que G / K sea abeliano, de modo que Higman también estudió O p ( G ) y el γ ∞ ( G ) residual nilpotente , como los llamados subgrupos hiperfocales . Higman tampoco se limitó a un solo primo p , sino que permitió grupos π para conjuntos de primos π y utilizó el teorema de Philip Hall de los subgrupos Hall para demostrar resultados similares sobre la transferencia a los subgrupos Hall π ; tomando π = { p } un subgrupo π de Hall es un subgrupo p de Sylow , y los resultados de Higman son los presentados anteriormente.
El interés en los subgrupos hiperfocales se renovó con el trabajo de ( Puig 2000 ) en la comprensión de la teoría de la representación modular de ciertos bloques de buen comportamiento. El subgrupo hiperfocal de P en G puede definida como P ∩γ ∞ ( G ) que es, como un Sylow p -subgroup de la nilpotent residual de G . Si P es un subgrupo p de Sylow del grupo finito G , entonces se obtiene el teorema estándar del subgrupo focal:
- P ∩γ ∞ ( G ) = P ∩ O p ( G ) = ⟨ x -1 y : x , y en P y y = x g durante algún g en G de primos entre sí a fin de p ⟩
y la caracterización local:
- P ∩ O p ( G ) = ⟨ x -1 y : x , y en Q ≤ P y y = x g durante algún g en N G ( Q ) de primos entre sí a fin de p ⟩.
Esto se compara con la caracterización local del subgrupo focal como:
- P ∩ A p ( G ) = ⟨ x -1 y : x , y en Q ≤ P y y = x g durante algún g en N G ( Q )⟩.
Puig está interesado en la generalización de esta situación a los sistemas de fusión , un modelo categórico del patrón de fusión de un subgrupo p de Sylow con respecto a un grupo finito que también modela el patrón de fusión de un grupo de defectos de un bloque p en representación modular teoría. De hecho, los sistemas de fusión han encontrado una serie de aplicaciones e inspiraciones sorprendentes en el área de la topología algebraica conocida como teoría de la homotopía equivariante . Algunos de los principales teoremas algebraicos en esta área solo tienen pruebas topológicas por el momento.
Otras caracterizaciones
Varios matemáticos han presentado métodos para calcular el subgrupo focal de grupos más pequeños. Por ejemplo, el influyente trabajo ( Alperin 1967 ) desarrolla la idea de un control local de la fusión, y como ejemplo de aplicación muestra que:
- P ∩ A p ( G ) es generado por los subgrupos del conmutador [ Q , N G ( Q )] donde Q varía en una familia C de subgrupos de P
La elección de la familia C se puede hacer de muchas formas ( C es lo que se llama una "familia de conjugación débil" en ( Alperin 1967 )), y se dan varios ejemplos: uno puede tomar C como todos los subgrupos no identitarios de P , o la elección más pequeña de solo las intersecciones Q = P ∩ P g para g en G en la que N P ( Q ) y N P g ( Q ) son ambos subgrupos p de Sylow de N G ( Q ). La última elección se hace en ( Gorenstein 1980 , Teorema 7.4.1, p. 251). El trabajo de ( Grün 1935 ) También estudió aspectos de la transferencia y la fusión, lo que resultó en el primer teorema de Grün :
- P ∩ A p ( G ) es generado por P ∩ [ N , N ] y P ∩ [ Q , Q ] donde N = N G ( P ) y Q rangos sobre el conjunto de Sylow p -subgrupos Q = P g de G ( Gorenstein 1980 , Teorema 7.4.2, pág. 252).
Aplicaciones
Las presentaciones de libros de texto en ( Rose 1978 , págs. 254-264) , ( Isaacs 2008 , Capítulo 5), ( Hall 1959 , Capítulo 14), ( Suzuki 1986 , §5.2, pp. 138-165), todos contienen varias aplicaciones del teorema del subgrupo focal que relaciona fusión, transferencia y cierto tipo de división llamada p -nilpotencia .
Durante el curso del teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que clasifica grupos simples finitos con subgrupos de Sylow 2 cuasi-diédricos , se hace necesario distinguir cuatro tipos de grupos con subgrupos de Sylow 2 cuasi-diédricos: los grupos 2-nilpotentes, el Q -grupos de tipo cuyo subgrupo focal es un grupo cuaternión generalizado de índice 2, los grupos de tipo D cuyo subgrupo focal es un grupo diedro de índice 2, y los grupos de tipo QD cuyo subgrupo focal es el grupo cuasi-diedro completo. En términos de fusión, los grupos 2-nilpotentes tienen 2 clases de involuciones y 2 clases de subgrupos cíclicos de orden 4; el tipo Q tiene 2 clases de involuciones y una clase de subgrupo cíclico de orden 4; el tipo QD tiene una clase de involuciones y subgrupos cíclicos de orden 4. En otras palabras, los grupos finitos con dos subgrupos de Sylow cuasi-diédricos pueden clasificarse según su subgrupo focal, o equivalentemente, según sus patrones de fusión. Las listas explícitas de grupos con cada patrón de fusión están contenidas en ( Alperin, Brauer & Gorenstein 1970 ).
Notas
- ^ El teorema del subgrupo focal y / o el subgrupo focal se debe a ( Higman 1958 ) según ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , p. 90), ( Rose 1978 , p. 255) , ( Suzuki 1986 , pág. 141); sin embargo, el teorema del subgrupo focal como se establece allí y aquí es bastante más antiguo y ya aparece en forma de libro de texto en ( Hall 1959 , p. 215). Allí y en ( Puig 2000 ) se le atribuyen las ideas ( Grün 1935 ) ; comparar con ( Grün 1935 , Satz 5) en el caso especial de los grupos p -normales, y el resultado general en Satz 9, que en cierto sentido es un refinamiento del teorema del subgrupo focal.
Referencias
- Alperin, JL (1967), "Sylow intersections and fusion", Journal of Algebra , 6 (2): 222–241, doi : 10.1016 / 0021-8693 (67) 90005-1 , ISSN 0021-8693 , MR 0215913
- Alperin, JL ; Brauer, R .; Gorenstein, D. (1970), "Grupos finitos con dos subgrupos de Sylow cuasi-diedros y enroscados", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society , 151 (1): 1–261, doi : 10.2307 / 1995627 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1995627 , MR 0284499
- Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
- Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), La clasificación de los grupos finitos simples. Número 2. Parte I. Capítulo G , Estudios y monografías matemáticas, 40 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0390-5, MR 1358135
- Grün, Otto (1936), "Beiträge zur Gruppentheorie. I." , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 174 : 1–14, ISSN 0075-4102 , Zbl 0012.34102
- Hall, Marshall, Jr. (1959), La teoría de los grupos , Nueva York: Macmillan, MR 0103215
- Higman, Donald G. (1953), "Serie focal en grupos finitos", Canadian Journal of Mathematics , 5 : 477–497, doi : 10.4153 / cjm-1953-055-5 , ISSN 0008-414X , MR 0058597
- Isaacs, I. Martin (2008), Teoría de grupos finitos , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4344-4
- Puig, Lluis (2000), "La subálgebra hiperfocal de un bloque", Inventiones Mathematicae , 141 (2): 365–397, doi : 10.1007 / s002220000072 , ISSN 0020-9910 , MR 1775217 , S2CID 122330778
- Rose, John S. (1994) [1978], Un curso de teoría de grupos , Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-68194-8, MR 0498810
- Suzuki, Michio (1986), Teoría de grupos. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 248 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-10916-9, MR 0815926