En matemáticas , la cohomología equivariante (o cohomología de Borel ) es una teoría de cohomología de topología algebraica que se aplica a espacios topológicos con acción grupal . Puede verse como una generalización común de la cohomología de grupo y una teoría de la cohomología ordinaria . Específicamente, el anillo de cohomología equivariante de un espacio con acción de un grupo topológico se define como el anillo de cohomología ordinario con anillo de coeficientedel cociente de homotopía :
Si es el grupo trivial , este es el anillo de cohomología ordinario de, mientras que si es contráctil , se reduce al anillo de cohomología del espacio clasificador (es decir, la cohomología de grupo de cuando G es finito.) Si G actúa libremente sobre X , entonces el mapa canónico es una equivalencia de homotopía y, por lo tanto, se obtiene:
También es posible definir la cohomología equivariante de con coeficientes en un -módulo A ; estos son grupos abelianos . Esta construcción es análoga a la cohomología con coeficientes locales.
Si X es una variedad, G un grupo de Lie compacto yes el campo de números reales o el campo de números complejos (la situación más típica), entonces la cohomología anterior puede calcularse utilizando el llamado modelo de Cartan (ver formas diferenciales equivariantes ).
La construcción no debe confundirse con otras teorías de cohomología, como la cohomología de Bredon o la cohomología de formas diferenciales invariantes : si G es un grupo de Lie compacto, entonces, mediante el argumento promediador [ cita requerida ] , cualquier forma puede hacerse invariante; por tanto, la cohomología de formas diferenciales invariantes no proporciona nueva información.
Se sabe que la dualidad Koszul se mantiene entre la cohomología equivariante y la cohomología ordinaria.
Cociente de homotopía
El cociente de homotopía , también llamado espacio orbital de homotopía o construcción de Borel , es una versión "homotópicamente correcta" del espacio orbital (el cociente de por esto -acción) en la que se reemplaza primero por un espacio equivalente más grande pero homotópico , de modo que se garantiza que la acción es libre .
Con este fin, construya el paquete universal EG → BG para G y recuerde que EG admite una acción G libre. Entonces el producto EG × X —que es homotopía equivalente a X ya que EG es contráctil— admite una acción G “diagonal” definida por ( e , x ). g = ( p . ej. , g −1 x ): además, esta acción diagonal es libre ya que está libre en EG . Así que definimos el cociente de homotopía X G como el espacio orbital ( EG × X ) / G de esta acción G libre.
En otras palabras, el cociente homotopy se la asocia X -bundle sobre BG obtenida a partir de la acción de G en un espacio X y el principal haz EG → BG . Este paquete X → X G → BG se llama fibración de Borel .
Un ejemplo de cociente de homotopía
El siguiente ejemplo es la Proposición 1 de [1] .
Sea X una curva algebraica proyectiva compleja . Identificamos X como un espacio topológico con el conjunto de los puntos complejos, que es una superficie compacta de Riemann . Sea G un grupo de Lie semisimple complejo simplemente conectado. Entonces cualquier paquete G principal en X es isomorfo a un paquete trivial, ya que el espacio de clasificación tiene 2 conexiones y X tiene una dimensión real 2. Arregle un paquete G suaveen X . Entonces cualquier paquete G principal en es isomorfo a . En otras palabras, el conjuntode todas las clases de isomorfismo de pares que constan de un paquete G principal en X y una estructura analítica compleja en él se pueden identificar con el conjunto de estructuras analíticas complejas eno, de manera equivalente, el conjunto de conexiones holomórficas en X (ya que las conexiones son integrables por razones dimensionales). es un espacio afín complejo de dimensión infinita y, por lo tanto, es contráctil.
Dejar ser el grupo de todos los automorfismos de (es decir, grupo de calibre ). Entonces el cociente de homotopía de por clasifica los paquetes G principales analíticos complejos (o equivalentemente algebraicos) en X ; es decir, es precisamente el espacio clasificatorio del grupo discreto .
Se puede definir la pila de módulos de paquetes principales como la pila del cociente y luego el cociente de homotopía es, por definición, el tipo de homotopía de.
Clases de características equivalentes
Deje que E sea un paquete del vector equivariante en un G -manifold M . Da lugar a un paquete de vectores en el cociente de homotopía para que retroceda hacia el paquete encima . Una clase característica equivariante de E es entonces una clase característica ordinaria de, que es un elemento de la finalización del anillo de cohomología . (Para aplicar la teoría de Chern-Weil , se usa una aproximación de dimensión finita de EG ).
Alternativamente, se puede definir primero una clase Chern equivariante y luego definir otras clases características como polinomios invariantes de clases Chern como en el caso ordinario; por ejemplo, la clase Todd equivariante de un paquete de líneas equivariantes es la función de Todd evaluada en la primera clase Chern equivariante del paquete. (Una clase Todd equivariante de un paquete de líneas es una serie de potencias (no un polinomio como en el caso no equivariante) en la primera clase Chern equivariante; por lo tanto, pertenece a la finalización del anillo de cohomología equivariante).
En el caso no equivariante, la primera clase de Chern puede verse como una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismos de haces de líneas complejas en una variedad M y[1] En el caso equivariante, esto se traduce en: el primer Chern equivariante da una biyección entre el conjunto de todas las clases de isomorfismos de haces de líneas complejas equivariantes y.
Teorema de localización
El teorema de la localización es una de las herramientas más poderosas de la cohomología equivariante.
Ver también
Notas
- ^ usando la cohomología Čech y el isomorfismodado por el mapa exponencial .
Referencias
- Atiyah, Michael ; Bott, Raoul (1984), "The moment map and equivariant cohomology", Topology , 23 : 1–28, doi : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90021-1
- Michel Brion, "Cohomología equivariante y teoría de la intersección equivariante" [2]
- Goresky, Mark ; Kottwitz, Robert ; MacPherson, Robert (1998), "Cohomología equivariante, dualidad de Koszul y el teorema de la localización", Inventiones Mathematicae , 131 : 25–83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450 , doi : 10.1007 / s002220050197 , S2CID 6006856
- Hsiang, Wu-Yi (1975). Teoría de la cohomología de los grupos de transformación topológica . Nueva York: Springer.
- Tu, Loring W. (marzo de 2011). "¿Qué es ... la cohomología equivariante?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 58 (3): 423–426.
Otras lecturas
- VW Guillemin y S. Sternberg. Supersimetría y teoría de Rham equivariante. Springer-V erlag, Berlín, 1999
- CM Vergne, Cohomologie équivariante et théorème de Stokes
enlaces externos
- Cohomología equivariante y el modelo de Cartan : excelente artículo de encuesta que describe los conceptos básicos de la teoría y los principales teoremas importantes
- "Cohomología equivariante" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Young-Hoon Kiem, Introducción a la teoría de la cohomología equivariante
- ¿Cuál es la cohomología equivariante de un grupo que actúa sobre sí mismo por conjugación?