En la teoría de juegos , los teoremas populares son una clase de teoremas que describen una abundancia de perfiles de pago de equilibrio de Nash en juegos repetidos ( Friedman 1971 ). [1] El teorema popular original se refería a los beneficios de todos los equilibrios de Nash de un juego repetido infinitamente. Este resultado se denominó Teorema popular porque era ampliamente conocido entre los teóricos de los juegos en la década de 1950, aunque nadie lo había publicado. El teorema de Friedman (1971) se refiere a los beneficios de ciertos equilibrios de Nash perfectos en subjuegos (SPE)de un juego infinitamente repetido, y por lo tanto refuerza el teorema popular original mediante el uso de un concepto de equilibrio más fuerte: los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en lugar de los equilibrios de Nash. [2]
El teorema popular sugiere que si los jugadores son lo suficientemente pacientes y previsores (es decir, si el factor de descuento ), la interacción repetida puede resultar en prácticamente cualquier beneficio promedio en un equilibrio SPE. [3] "Prácticamente cualquiera" se define aquí técnicamente como "factible" e "individualmente racional".
Por ejemplo, en el dilema del prisionero de una sola vez, la cooperación de ambos jugadores no es un equilibrio de Nash. El único equilibrio de Nash es que ambos jugadores desertan, lo que también es un perfil mínimo máximo mutuo. Un teorema popular dice que, en la versión infinitamente repetida del juego, siempre que los jugadores sean lo suficientemente pacientes, existe un equilibrio de Nash tal que ambos jugadores cooperan en la ruta del equilibrio. Pero si el juego solo se repite un número finito conocido de veces, se puede determinar usando la inducción hacia atrás que ambos jugadores jugarán el equilibrio de Nash de una sola vez en cada período, es decir, desertarán cada vez.
Configuración y definiciones
Comenzamos con un juego básico , también conocido como juego de escenario , que es un juego de n jugadores . En este juego, cada jugador tiene un número finito de acciones entre las que elegir, y hace sus elecciones simultáneamente y sin conocer las opciones del otro jugador. Las elecciones colectivas de los jugadores conducen a un perfil de pago, es decir , a un pago para cada uno de los jugadores. Los jugadores conocen el mapeo de las elecciones colectivas a los perfiles de pago, y cada jugador tiene como objetivo maximizar su beneficio. Si la elección colectiva se denota por x, la recompensa que el jugador i recibe, también conocido como el jugador i 's utilidad , será denotada por.
Luego consideramos una repetición de este juego de escenario, finita o infinitamente muchas veces. En cada repetición, cada jugador elige una de sus opciones de juego de etapa, y al hacer esa elección, pueden tener en cuenta las elecciones de los otros jugadores en las iteraciones anteriores. En este juego repetido, una estrategia para uno de los jugadores es una regla determinista que especifica la elección del jugador en cada iteración del juego de escenario, basada en las elecciones de todos los demás jugadores en las iteraciones anteriores. Una elección de estrategia para cada uno de los jugadores es un perfil de estrategia, y conduce a un perfil de pago para el juego repetido. Hay varias formas diferentes de traducir un perfil de estrategia de este tipo en un perfil de pago, que se describen a continuación.
Cualquier perfil de pago de equilibrio de Nash de un juego repetido debe satisfacer dos propiedades:
1. Racionalidad individual : la recompensa debe dominar débilmente el perfil de recompensa minmax del juego de la etapa constituyente. Es decir, la recompensa de equilibrio de cada jugador debe ser al menos tan grande como la recompensa minmax de ese jugador. Esto se debe a que un jugador que logra menos de su recompensa mínima máxima siempre tiene un incentivo para desviarse simplemente jugando su estrategia mínima máxima en cada historia.
2. Viabilidad : la recompensa debe ser una combinación convexa de posibles perfiles de recompensa del juego escénico. Esto se debe a que la recompensa en un juego repetido es solo un promedio ponderado de las recompensas en los juegos básicos.
Los teoremas populares son afirmaciones parcialmente opuestas: dicen que, bajo ciertas condiciones (que son diferentes en cada teorema popular), cada perfil de pago que sea individualmente racional y factible puede realizarse como un perfil de pago de equilibrio de Nash del juego repetido.
Hay varios teoremas populares; algunos se relacionan con juegos repetidos de forma finita, mientras que otros se relacionan con juegos repetidos infinitamente. [4]
Juegos repetidos infinitamente sin descuento
En el modelo sin descuento, los jugadores son pacientes. No distinguen entre servicios públicos en diferentes períodos de tiempo. Por tanto, su utilidad en el juego repetido está representada por la suma de las utilidades en los juegos básicos.
Cuando el juego es infinito, un modelo común para la utilidad en el juego repetido infinitamente es el límite inferior de la utilidad media: si el juego da como resultado una ruta de resultados, dónde denota las elecciones colectivas de los jugadores en la iteración t ( t = 0,1,2, ...), la utilidad del jugador i se define como
dónde es la función de utilidad del juego básico del jugador i .
Un juego repetido infinitamente sin descuento a menudo se denomina "superjuego".
El teorema popular en este caso es muy simple y no contiene condiciones previas: cada perfil de pago individualmente racional y factible en el juego básico es un perfil de pago de equilibrio de Nash en el juego repetido.
La prueba emplea lo que se llama una estrategia sombría [5] o desencadenante sombría [6] . Todos los jugadores comienzan jugando la acción prescrita y continúan haciéndolo hasta que alguien se desvía. Si el jugador i se desvía, todos los demás jugadores cambian a elegir la acción que minimiza al jugador i para siempre. La ganancia de una etapa de la desviación contribuye con 0 a la utilidad total del jugador i . La utilidad de un jugador que se desvía no puede ser mayor que su pago mínimo máx. Por lo tanto, todos los jugadores permanecen en el camino previsto y, de hecho, este es un equilibrio de Nash.
Perfección de subjuegos
El equilibrio de Nash anterior no siempre es perfecto en subjuegos . Si el castigo es costoso para los que castigan, la amenaza de castigo no es creíble.
Un equilibrio perfecto en subjuegos requiere una estrategia un poco más complicada. [5] [7] : 146-149 El castigo no debería durar para siempre; debería durar sólo un tiempo finito que sea suficiente para eliminar las ganancias de la desviación. Después de eso, los otros jugadores deberían regresar al camino del equilibrio.
El criterio del límite de medios asegura que cualquier castigo de tiempo finito no tenga ningún efecto sobre el resultado final. Por tanto, el castigo por tiempo limitado es un equilibrio perfecto en subjuegos.
- Equilibrios perfectos en subjuegos de coalición : [8] Un equilibrio se denomina equilibrio de Nash de coalición si ninguna coalición puede beneficiarse de la desviación. Se llama equilibrio perfecto en subjuegos de coalición si ninguna coalición puede beneficiarse de desviarse después de cualquier historia. [9] Con el criterio de límite de medias, se puede lograr un perfil de pago en el equilibrio de Nash de coalición o en el equilibrio perfecto de coalición en subjuegos, si-y-solo-si es Pareto eficiente y débil-coalición-individualmente -racional. [10]
Adelantamiento
Algunos autores afirman que el criterio del límite de los medios no es realista, porque implica que las utilidades en cualquier lapso de tiempo finito contribuyen con 0 a la utilidad total. Sin embargo, si las utilidades en cualquier lapso de tiempo finito aportan un valor positivo, y el valor no se descuenta, entonces es imposible atribuir una utilidad numérica finita a una secuencia de resultados infinita. Una posible solución a este problema es que, en lugar de definir una utilidad numérica para cada secuencia de resultado infinita, simplemente definimos la relación de preferencia entre dos secuencias infinitas. Decimos que agente (estrictamente) prefiere la secuencia de resultados sobre la secuencia , si: [6] [7] : 139 [8]
Por ejemplo, considere las secuencias y . Según el criterio de límite de medios, aportan la misma utilidad al jugador i, pero según el criterio de adelantamiento, es mejor que para el jugador i . Consulte el criterio de adelantamiento para obtener más información.
Los teoremas populares con el criterio de adelantamiento son ligeramente más débiles que con el criterio del límite de medias. En el equilibrio de Nash solo se pueden obtener resultados estrictamente racionales individualmente. Esto se debe a que, si un agente se desvía, gana en el corto plazo, y esta ganancia puede desaparecer solo si el castigo le da al desviador una utilidad estrictamente menor que la ruta del acuerdo. Los siguientes teoremas populares son conocidos por el criterio de adelantamiento:
- Equilibrios estacionarios estrictos : [6] Un equilibrio de Nash se llama estricto si cada jugador prefiere estrictamente la secuencia infinita de resultados obtenidos en equilibrio, sobre cualquier otra secuencia a la que pueda desviarse. Un equilibrio de Nash se llama estacionario si el resultado es el mismo en cada período de tiempo. Un resultado es alcanzable en equilibrio estricto-estacionario si-y-sólo-si para cada jugador el resultado es estrictamente mejor que el resultado minimax del jugador. [11]
- Estricto equilibrio estacionario perfecto en subjuegos : [6] Un resultado es alcanzable en equilibrio estricto-estacionario-subjuego-perfecto-perfecto, si para cada jugador el resultado es estrictamente mejor que el resultado minimax del jugador (tenga en cuenta que esto no es un "si-y -sólo-si "resultado). Para lograr un equilibrio perfecto en subjuegos con el criterio de adelantamiento, se requiere castigar no solo al jugador que se desvía del camino del acuerdo, sino también a todo jugador que no coopere en castigar al desviado. [7] : 149–150
- El concepto de "equilibrio estacionario" se puede generalizar a un "equilibrio periódico", en el que un número finito de resultados se repite periódicamente y la recompensa en un período es la media aritmética de las recompensas en los resultados. Esa recompensa media debería estar estrictamente por encima de la recompensa minimax. [6]
- Equilibrios de coalición estacionarios estrictos : [8] Con el criterio de adelantamiento, si un resultado es alcanzable en el equilibrio de coalición-Nash, entonces es Pareto eficiente y débilmente coalición individualmente racional. Por otro lado, si es Pareto eficiente y fuertemente-coalición-individual-racional [12] , puede alcanzarse en equilibrio-coalición-estacionario-estricto.
Juegos repetidos infinitamente con descuento
Suponga que la recompensa de un jugador en un juego repetido infinitamente viene dada por el criterio de descuento promedio con factor de descuento 0 < δ <1:
El factor de descuento indica qué tan pacientes son los jugadores.
El teorema popular en este caso requiere que el perfil de pago en el juego repetido domine estrictamente el perfil de pago minmax (es decir, cada jugador recibe estrictamente más que el pago minmax).
Sea a un perfil de estrategia del juego por etapas con un perfil de pago u que domina estrictamente el perfil de pago minmax. Se puede definir un equilibrio de Nash del juego con u como perfil de pago resultante de la siguiente manera:
- 1. Todos los jugadores comienzan jugando a y continúan jugando a si no se produce ninguna desviación.
- 2. Si alguno de los jugadores, digamos el jugador i , se desvió, juegue el perfil de estrategia m que minmaxes i para siempre.
- 3. Ignore las desviaciones multilaterales.
Si el jugador i obtiene ε más que su pago mínimo máximo en cada etapa siguiendo 1, entonces la pérdida potencial por castigo es
Si δ está cerca de 1, esto supera cualquier ganancia finita de una etapa, lo que hace que la estrategia sea un equilibrio de Nash.
Un enunciado alternativo de este teorema popular [4] permite que el perfil de pago de equilibrio u sea cualquier perfil de pago factible individualmente racional; sólo requiere que exista un perfil de pago factible individualmente racional que domine estrictamente el perfil de pago mínimo máx. Entonces, el teorema popular garantiza que es posible aproximar u en equilibrio a cualquier precisión deseada (para cada ε existe un equilibrio de Nash donde el perfil de pago está a una distancia ε de u ).
Perfección de subjuegos
Alcanzar un equilibrio perfecto en subjuegos en juegos con descuento es más difícil que en juegos sin descuento. El costo del castigo no desaparece (como ocurre con el criterio del límite de medios). No siempre es posible castigar indefinidamente a los que no castigan (como ocurre con el criterio de adelantamiento), ya que el factor de descuento hace que los castigos lejanos en el futuro sean irrelevantes para el presente. Por lo tanto, se necesita un enfoque diferente: los castigadores deben ser recompensados.
Esto requiere una suposición adicional, que el conjunto de perfiles de pago factibles es dimensional completo y el perfil mínimo-máximo se encuentra en su interior. La estrategia es la siguiente.
- 1. Todos los jugadores comienzan jugando a y continúan jugando a si no se produce ninguna desviación.
- 2. Si algún jugador, digamos el jugador i , se desvió, juegue el perfil de estrategia m que minimiza i para N períodos. (Elija N y δ lo suficientemente grandes como para que ningún jugador tenga incentivos para desviarse de la fase 1).
- 3. Si ningún jugador se desvió de la fase 2, todos los jugadores j ≠ i reciben una recompensa ε por encima del mínimo-máximo de j para siempre, mientras que el jugador i continúa recibiendo su mínimo-máximo. (Aquí se necesita la dimensionalidad completa y la suposición interior).
- 4. Si el jugador j se desvió de la fase 2, todos los jugadores reiniciarán la fase 2 con j como objetivo.
- 5. Ignore las desviaciones multilaterales.
El jugador j ≠ i ahora no tiene ningún incentivo para desviarse de la fase de castigo 2. Esto prueba el teorema popular perfecto en subjuegos.
Juegos repetidos finamente sin descuento
Suponga que la recompensa del jugador i en un juego que se repite T veces viene dada por una media aritmética simple:
Un teorema popular para este caso tiene el siguiente requisito adicional: [4]
- En el juego básico, para cada jugador i , hay un equilibrio de Nash eso es estrictamente mejor, para i , entonces su recompensa minmax.
Este requisito es más fuerte que el requisito para los juegos infinitos con descuento, que a su vez es más fuerte que el requisito para los juegos infinitos sin descuento.
Este requisito es necesario debido al último paso. En el último paso, el único resultado estable es un equilibrio de Nash en el juego básico. Suponga que un jugador i no gana nada del equilibrio de Nash (ya que solo le da su pago mínimo máx.). Entonces, no hay forma de castigar a ese jugador.
Por otro lado, si para cada jugador hay un equilibrio básico que es estrictamente mejor que minmax, se puede construir un equilibrio de juego repetido en dos fases:
- En la primera fase, los jugadores alternan estrategias en las frecuencias requeridas para aproximarse al perfil de pago deseado.
- En la última fase, los jugadores juegan el equilibrio preferido de cada uno de los jugadores por turno.
En la última fase, ningún jugador se desvía porque las acciones ya son un equilibrio básico del juego. Si un agente se desvía en la primera fase, puede ser castigado con minmaxing en la última fase. Si el juego es lo suficientemente largo, el efecto de la última fase es insignificante, por lo que la recompensa de equilibrio se acerca al perfil deseado.
Aplicaciones
Los teoremas populares se pueden aplicar a un número diverso de campos. Por ejemplo:
- Antropología : en una comunidad donde todos los comportamientos son bien conocidos, y donde los miembros de la comunidad saben que seguirán teniendo que lidiar entre sí, entonces cualquier patrón de comportamiento ( tradiciones , tabúes , etc.) puede ser sostenido por normas sociales. siempre que los individuos de la comunidad estén mejor permaneciendo en la comunidad de lo que estarían dejando la comunidad (la condición minimax).
- Política internacional: los acuerdos entre países no se pueden hacer cumplir de manera efectiva. Sin embargo, se mantienen porque las relaciones entre países son a largo plazo y los países pueden utilizar "estrategias minimax" entre sí. Esta posibilidad a menudo depende del factor de descuento de los países relevantes. Si un país es muy impaciente (presta poca atención a los resultados futuros), puede ser difícil castigarlo (o castigarlo de manera creíble). [5]
Por otro lado, el economista del MIT Franklin Fisher ha señalado que el teorema popular no es una teoría positiva. [13] Al considerar, por ejemplo, el comportamiento del oligopolio , el teorema popular no le dice al economista lo que harán las empresas, sino que las funciones de costo y demanda no son suficientes para una teoría general del oligopolio, y los economistas deben incluir el contexto dentro de qué oligopolios operan en su teoría. [13]
En 2007, Borgs et al. demostró que, a pesar del teorema popular, en el caso general, calcular los equilibrios de Nash para juegos repetidos no es más fácil que calcular los equilibrios de Nash para juegos finitos de una sola vez, un problema que se encuentra en la clase de complejidad PPAD . [14] La consecuencia práctica de esto es que no se conoce ningún algoritmo eficiente (polinomio-tiempo) que calcule las estrategias requeridas por los teoremas populares en el caso general.
Resumen de teoremas populares
La siguiente tabla compara varios teoremas populares en varios aspectos:
- Horizonte: si el juego de escenario se repite finita o infinitamente muchas veces.
- Utilidades: cómo se determina la utilidad de un jugador en el juego repetido a partir de las utilidades del jugador en las iteraciones del juego de etapa.
- Condiciones en G (el juego de escenario): si existen condiciones técnicas que deberían cumplirse en el juego de una sola vez para que el teorema funcione.
- Condiciones en x (el vector de pago objetivo del juego repetido): si el teorema funciona para cualquier vector de pago individualmente racional y factible, o solo en un subconjunto de estos vectores.
- Tipo de equilibrio: si se cumplen todas las condiciones, ¿qué tipo de equilibrio está garantizado por el teorema: Nash o perfecto en subjuegos?
- Tipo de castigo: ¿qué tipo de estrategia de castigo se utiliza para disuadir a los jugadores de desviarse?
Publicado por | Horizonte | Utilidades | Condiciones en G | Condiciones en x | Garantía | Tipo de equilibrio | Tipo de castigo |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Benoit y Krishna [15] | Finito () | Significado aritmetico | Para cada jugador hay una recompensa de equilibrio estrictamente mejor que minimax. | Ninguno | Para todos hay tal que, si , para cada hay equilibrio con recompensa -cerca de . | Nash | |
Aumann y Shapley [5] | Infinito | Límite de medios | Ninguno | Ninguno | Pago exacto . | Nash | Severo |
Aumann & Shapley [5] y Rubinstein [8] [16] | Infinito | Límite de medios | Ninguno | Ninguno | Pago exacto . | Perfecto en subjuegos | Castigo por tiempo limitado. [7] : 146-149 |
Rubinstein [6] | Infinito | Adelantamiento | Ninguno | Estrictamente por encima de minimax. | Resultado único o secuencia periódica. | Perfecto en subjuegos | Castigar a los que no castigan. [7] : 149–150 |
Rubinstein [8] | Infinito | Límite de medios | Ninguno | Pareto-eficiente y débilmente-coalición-individual-racional [10] | Ninguno | Coalición-subjuego-perfecto | |
Rubinstein [8] | Infinito | Adelantamiento | Ninguno | Pareto-eficiente y fuertemente-coalición-individual-racional [12] | Ninguno | Coalición-Nash | |
Fudenberg y Maskin [17] | Infinito | Suma con descuento | Se permiten estrategias mixtas correlacionadas. | Estrictamente por encima de minimax. | Cuándo está suficientemente cerca de 1, hay un equilibrio con la recompensa exactamente . | Nash | Severo |
Fudenberg y Maskin [17] | Infinito | Suma con descuento | Solo se permiten estrategias puras. | Estrictamente por encima de minimax. | Para todos hay tal que, si , para cada hay un equilibrio con recompensa -cerca de . | Nash | Severo castigo. |
Friedman (1971, 1977) | Infinito | Suma con descuento | Se permiten estrategias mixtas correlacionadas. | Estrictamente por encima de un equilibrio de Nash en G. | Cuándo está suficientemente cerca de 1, hay equilibrio con pago exactamente . | Perfecto en subjuegos | Castigo severo usando el equilibrio de Nash. |
Fudenberg y Maskin [17] | Infinito | Suma con descuento | Dos jugadores | Estrictamente por encima de minimax. | Para todos hay tal que, si , hay equilibrio con recompensa exactamente . | Perfecto en subjuegos | Castigo por tiempo limitado. |
Fudenberg y Maskin [17] | Infinito | Suma con descuento | El espacio factible de IR es de dimensión completa. [18] | Estrictamente por encima de minimax. | Para todos hay tal que, si , hay equilibrio con recompensa exactamente . | Perfecto en subjuegos | Recompensar a los castigadores. [7] : 150-153 |
Notas
- ^ En matemáticas, el término teorema popular se refiere generalmente a cualquier teorema que se cree y se discute, pero que no se ha publicado. Roger Myerson ha recomendado el término más descriptivo "teorema de viabilidad general" para los teoremas de la teoría de juegos discutidos aquí. Véase Myerson, Roger B. Game Theory, Analysis of conflict , Cambridge, Harvard University Press (1991).
- ^ R. Gibbons (1992). Introducción a la teoría de juegos . Cosechadora de trigo . pag. 89. ISBN 0-7450-1160-8.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Jonathan Levin (2002). "Negociación y juegos repetidos" (PDF) .
- ^ a b c Michael Maschler, Eilon Solan y Shmuel Zamir (2013). Teoría de juegos . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 176–180. ISBN 978-1-107-00548-8.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ a b c d e Aumann, Robert J .; Shapley, Lloyd S. (1994). "Competencia a largo plazo: un análisis teórico del juego". Ensayos en teoría de juegos . pag. 1. doi : 10.1007 / 978-1-4612-2648-2_1 . ISBN 978-1-4612-7621-0.
- ^ a b c d e f Rubinstein, Ariel (1979). "Equilibrio en superjuegos con el criterio de adelantamiento". Revista de teoría económica . 21 : 1. doi : 10.1016 / 0022-0531 (79) 90002-4 .
- ^ a b c d e f . ISBN 0-262-15041-7. LCCN 94008308 . OL 1084491M . Falta o vacío
|title=
( ayuda ) - ^ a b c d e f Rubinstein, A. (1980). "Fuerte equilibrio perfecto en superjuegos". Revista Internacional de Teoría de Juegos . 9 : 1. doi : 10.1007 / BF01784792 .
- ^ El artículo utiliza el término "equilibrio fuerte". Aquí, para evitar la ambigüedad, se utiliza en su lugar el término "equilibrio de coalición".
- ^ a b Para cada coalición no vacía, hay una estrategia de los otros jugadores () tal que para cualquier estrategia jugada por , la recompensa cuando obras de teatro no es [estrictamente mejor para todos los miembros de].
- ^ En el artículo de 1979, Rubinstein afirma que un resultado es alcanzable en equilibrio estricto-estacionario si-y-sólo-si para cada jugador, el resultado es estrictamente mejor que el resultado minimax del jugador O el resultado es débilmente mejor que cualquier otro resultado al que el jugador puede desviarse unilateralmente. No está claro cómo se puede lograr la segunda opción en un equilibrio estricto. En el libro de 1994, esta afirmación no aparece.
- ^ a b para cada coalición no vacía, hay una estrategia de los otros jugadores () tal que para cualquier estrategia jugada por , la recompensa es estrictamente peor para al menos un miembro de.
- ^ a b Fisher, Franklin M. Juegos Los economistas juegan: una visión no cooperativa The RAND Journal of Economics, vol. 20, No. 1. (Primavera de 1989), págs. 113-124, esta discusión en particular está en la página 118
- ^ Christian Borgs; Jennifer Chayes; Nicole Immorlica ; Adam Tauman Kalai; Vahab Mirrokni; Christos Papadimitriou (2007). "El mito del teorema popular" (PDF) .
- ^ Benoit, Jean-Pierre; Krishna, Vijay (1985). "Juegos repetidos finamente". Econometrica . 53 (4): 905. doi : 10.2307 / 1912660 . JSTOR 1912660 .
- ^ Rubinstein, Ariel (1994). "Equilibrio en Superjuegos". Ensayos en teoría de juegos . pag. 17. doi : 10.1007 / 978-1-4612-2648-2_2 . ISBN 978-1-4612-7621-0.
- ^ a b c d Fudenberg, Drew; Maskin, Eric (1986). "El teorema popular en juegos repetidos con descuento o con información incompleta". Econometrica . 54 (3): 533. CiteSeerX 10.1.1.308.5775 . doi : 10.2307 / 1911307 . JSTOR 1911307 .
- ^ Hay una colección de resultados factibles de RI, uno por jugador, de modo que para cada jugador , y .
Referencias
- Friedman, J. (1971). "Un equilibrio no cooperativo para superjuegos". Revisión de estudios económicos . 38 (1): 1–12. doi : 10.2307 / 2296617 . JSTOR 2296617 .
- Ichiishi, Tatsuro (1997). Teoría microeconómica . Oxford: Blackwell. págs. 263–269. ISBN 1-57718-037-2.
- Mas-Colell, A .; Whinston, M .; Green, J. (1995). Teoría microeconómica . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1.
- Ratliff, J. (1996). "Un muestrario del teorema popular" (PDF) . Un conjunto de notas introductorias al teorema popular.