Además de la fórmula de Euclides, se han desarrollado muchas otras fórmulas para generar triples pitagóricas .
Fórmulas de Euclides, Pitágoras y Platón
Las fórmulas de Euclides, Pitágoras y Platón para calcular triples se han descrito aquí:
Los métodos siguientes aparecen en varias fuentes, a menudo sin atribución en cuanto a su origen.
El método de Fibonacci
Leonardo de Pisa ( c. 1170 - c. 1250 ) describió este método [1] [2] para generar triples primitivos utilizando la secuencia de números enteros impares consecutivos y el hecho de que la suma de la primera términos de esta secuencia es . Si es el -th miembro de esta secuencia entonces .
Elija cualquier número cuadrado impar de esta secuencia () y deja que este cuadrado sea el -ésimo término de la secuencia. Además, deja ser la suma de lo anterior términos, y dejar ser la suma de todos condiciones. Entonces hemos establecido quey hemos generado el triple primitivo [ a, b, c ]. Este método produce un número infinito de triples primitivos, pero no todos.
EJEMPLO: Elija . Este número cuadrado impar es el quinto término de la secuencia, porque. La suma de los 4 términos anteriores es y la suma de todos términos es dándonos y el triple primitivo [ a, b, c ] = [3, 4, 5].
Progresiones de números enteros y fraccionarios
El matemático y monje alemán Michael Stifel publicó el siguiente método en 1544. [3] [4]
Considere la progresión de números enteros y fraccionarios:
Las propiedades de esta progresión son: (a) los números enteros son los de la serie común y tienen la unidad como su diferencia común; (b) los numeradores de las fracciones, adjuntos a los números enteros, son también los números naturales; (c) los denominadores de las fracciones son los números impares, etc.
Para calcular un triple pitagórico, seleccione cualquier término de esta progresión y redúzcalo a una fracción impropia. Por ejemplo, tome el término. La fracción impropia es. Los números 7 y 24 son los lados, un y b , de un triángulo rectángulo, y la hipotenusa es uno mayor que el lado más grande. Por ejemplo:
Jacques Ozanam [5] volvió a publicar la secuencia de Stifel en 1694 y agregó la secuencia similar con términos derivados de . Como antes, para producir un triple a partir de esta secuencia, seleccione cualquier término y redúzcalo a una fracción impropia. El numerador y denominador son los lados, un y b , de un triángulo rectángulo. En este caso, la hipotenusa del triple (s) producido es 2 mayor que el lado más grande. Por ejemplo:
Juntas, las secuencias de Stifel y Ozanam producen todos los triples primitivos de las familias Platón y Pitágoras , respectivamente. La familia Fermat debe encontrarse por otros medios.
Con a el cateto más corto yb el más largo del triángulo:
El método de Dickson
Leonard Eugene Dickson (1920) [6] se atribuye a sí mismo el siguiente método para generar triples pitagóricos. Para encontrar soluciones enteras a, encuentre los enteros positivos r , s y t tales que es un cuadrado perfecto.
Luego:
De esto vemos que es cualquier número entero par y que s y t son factores de. Todos los triples pitagóricos se pueden encontrar por este método. Cuando s y t son primos entre sí, la triple habrá primitiva. Josef Rukavicka (2013) ha presentado una prueba sencilla del método de Dickson. [7]
Ejemplo: elija r = 6. Luego. Los tres pares de factores de 18 son: (1, 18), (2, 9) y (3, 6). Los tres pares de factores producirán triples usando las ecuaciones anteriores.
- s = 1, t = 18 produce el triple [7, 24, 25] porque x = 6 + 1 = 7, y = 6 + 18 = 24, z = 6 + 1 + 18 = 25.
- s = 2, t = 9 produce el triple [8, 15, 17] porque x = 6 + 2 = 8, y = 6 + 9 = 15, z = 6 + 2 + 9 = 17.
- s = 3, t = 6 produce la triple [9, 12, 15] porque x = 6 + 3 = 9, y = 6 + 6 = 12, z = 6 + 3 + 6 = 15. (Puesto que s y t son no coprime, este triple no es primitivo.)
Secuencia de Fibonacci generalizada
Método I
Para los números de Fibonacci que comienzan con F 1 = 0 y F 2 = 1 y cada número de Fibonacci sucesivo es la suma de los dos anteriores, se puede generar una secuencia de triples pitagóricas a partir de ( a 3 , b 3 , c 3 ) = ( 4, 3, 5) vía
para n ≥ 4.
Método II
Se puede generar un triple pitagórico utilizando dos números enteros positivos cualesquiera mediante los siguientes procedimientos utilizando secuencias de Fibonacci generalizadas .
Para los números enteros positivos iniciales h n y h n +1 , si h n + h n +1 = h n +2 y h n +1 + h n +2 = h n +3 , entonces
es un triple pitagórico. [8]
Método III
El siguiente es un enfoque basado en matrices para generar triples primitivos con secuencias de Fibonacci generalizadas. [9] Empiece con una matriz de 2 × 2 e inserte dos enteros positivos coprimos (q, q ') en la fila superior. Coloque el número entero par (si lo hay) en la columna de la izquierda .
Ahora aplique la siguiente "regla de Fibonacci" para obtener las entradas en la fila inferior:
Una matriz de este tipo puede denominarse "Caja de Fibonacci". Tenga en cuenta que q ', q, p, p' es una secuencia de Fibonacci generalizada. Tomando los productos de columna, fila y diagonal obtenemos los lados del triángulo [a, b, c], su área A y su perímetro P , así como los radios r i de su círculo y tres círculos como sigue:
Las tangentes medio-ángulo en los ángulos agudos son q / p y q '/ p' .
EJEMPLO:
Usando números coprimos enteros 9 y 2.
Los productos de columna, fila y diagonal son: (columnas: 22 y 117), (filas: 18 y 143), (diagonales: 26 y 99), por lo que
Las tangentes de medio ángulo en los ángulos agudos son 2/11 y 9/13. Tenga en cuenta que si los números enteros q , q ' elegidos no son coprimos , el mismo procedimiento conduce a un triple no primitivo.
Triples pitagóricos y ecuación circular de Descartes
Este método de generar triples pitagóricos primitivos también proporciona soluciones enteras a la ecuación circular de Descartes , [9]
donde enteros curvaturas k i se obtienen multiplicando el recíproco de cada radio por el área A . El resultado es k 1 = pp ', k 2 = qp', k 3 = q'p, k 4 = qq '. Aquí, se considera que el círculo más grande tiene una curvatura negativa con respecto a los otros tres. El círculo más grande (curvatura k 4 ) también puede reemplazarse por un círculo más pequeño con curvatura positiva ( k 0 = 4 pp '- qq' ).
EJEMPLO:
Usando el área y los cuatro radios obtenidos anteriormente para el triple primitivo [44, 117, 125] obtenemos las siguientes soluciones enteras para la ecuación de Descartes: k 1 = 143, k 2 = 99, k 3 = 26, k 4 = (−18 ) y k 0 = 554.
Un árbol ternario: generando todas las triples pitagóricas primitivas
Cada triple primitivo de Pitágoras corresponde únicamente a una Caja de Fibonacci. A la inversa, cada Caja de Fibonacci corresponde a un triple pitagórico único y primitivo. En esta sección usaremos la Caja de Fibonacci en lugar del triple primitivo que representa. Se puede construir un árbol ternario infinito que contenga todas las triples pitagóricas primitivas / Cajas de Fibonacci mediante el siguiente procedimiento. [10]
Considere una caja de Fibonacci que contiene dos números enteros coprimos x e y , impares, en la columna de la derecha.
Se puede ver que estos números enteros también se pueden colocar de la siguiente manera:
resultando en tres cajas de Fibonacci más vigentes en las que x y y . Podemos pensar en el primer cuadro como el "padre" de los tres siguientes. Por ejemplo, si x = 1 e y = 3 tenemos:
Además, cada "hijo" es en sí mismo el padre de tres hijos más que pueden obtenerse mediante el mismo procedimiento. Continuar este proceso en cada nodo conduce a un árbol ternario infinito que contiene todas las Cajas de Fibonacci posibles, o de manera equivalente, a un árbol ternario que contiene todos los triples primitivos posibles. (El árbol que se muestra aquí es distinto del árbol clásico descrito por Berggren en 1934 y tiene muchas propiedades teóricas de números diferentes). Compare: "Árbol clásico". [11] Véase también Árbol de las triples pitagóricas primitivas . [12]
Generando triples usando ecuaciones cuadráticas
Hay varios métodos para definir ecuaciones cuadráticas para calcular cada cateto de un triple pitagórico. [13] método simple A es modificar la ecuación Euclides estándar mediante la adición de una variable x para cada m y n par. El par m, n se trata como una constante mientras que el valor de x se varía para producir una "familia" de triples basada en el triple seleccionado. Se puede colocar un coeficiente arbitrario delante del valor " x " en m o n , lo que hace que la ecuación resultante "salte" sistemáticamente a través de los triples. Por ejemplo, considere el triple [20, 21, 29] que se puede calcular a partir de las ecuaciones de Euclides con un valor de m = 5 yn = 2. Además, coloque arbitrariamente el coeficiente de 4 delante de la " x " en el término " m ".
Dejar y deja
Por lo tanto, la sustitución de los valores de m y n :
Tenga en cuenta que el triple original comprende el término constante en cada una de las respectivas ecuaciones cuadráticas. A continuación se muestra un resultado de muestra de estas ecuaciones. Tenga en cuenta que el efecto de estas ecuaciones es hacer que el valor " m " en las ecuaciones de Euclides se incremente en pasos de 4, mientras que el valor " n " se incrementa en 1.
X | lado a | lado b | lado c | metro | norte |
---|---|---|---|---|---|
0 | 20 | 21 | 29 | 5 | 2 |
1 | 54 | 72 | 90 | 9 | 3 |
2 | 104 | 153 | 185 | 13 | 4 |
3 | 170 | 264 | 314 | 17 | 5 |
4 | 252 | 405 | 477 | 21 | 6 |
Triples pitagóricos mediante el uso de matrices y transformaciones lineales
Sea [ a , b , c ] un triple primitivo con un impar. Entonces, 3 nuevos triples [ a 1 , b 1 , c 1 ] , [ a 2 , b 2 , c 2 ] , [ a 3 , b 3 , c 3 ] pueden producirse a partir de [ a , b , c ] usando la multiplicación de matrices y las tres matrices A , B , C de Berggren [11] . Triple [ a , b , c ] se denomina padre de los tres nuevos triples (los hijos ). Cada niño es en sí mismo el padre de 3 niños más, y así sucesivamente. Si uno comienza con el triple primitivo [3, 4, 5], todos los triples primitivos eventualmente se producirán mediante la aplicación de estas matrices. El resultado se puede representar gráficamente como un árbol ternario infinito con [ a , b , c ] en el nodo raíz. Se puede obtener un resultado equivalente utilizando las tres transformaciones lineales de Berggrens que se muestran a continuación.
Las tres transformaciones lineales de Berggren son:
Alternativamente, también se pueden usar 3 matrices diferentes encontradas por Price. [10] Estas matrices A ', B', C ' y sus correspondientes transformaciones lineales se muestran a continuación.
Las tres transformaciones lineales de Price son
Los 3 hijos producidos por cada uno de los dos conjuntos de matrices no son iguales, pero cada conjunto produce por separado todos los triples primitivos.
Por ejemplo, usando [5, 12, 13] como padre, obtenemos dos conjuntos de tres hijos:
Área proporcional a sumas de cuadrados
Todos los triples primitivos con y con un impar se puede generar de la siguiente manera: [14]
Triple pitagórica | Semiperímetro | Área | Radio de circunferencia | Radio de circunferencia |
---|---|---|---|---|
1 + 2 + 3 | 1 | |||
1 + 2 + 3 + 4 + 5 | 2 | |||
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 | 3 | |||
....... | ....... | ....... | ....... | ....... |
1 + 2 + ... + a |
Teorema de enumeración por exceso de altura
Wade y Wade [15] introdujeron por primera vez la categorización de las triples pitagóricas por su altura, definidas como c - b, vinculando 3,4,5 a 5,12,13 y 7,24,25 y así sucesivamente.
McCullough y Wade [16] ampliaron este enfoque, que produce todas las triples pitagóricas cuandoEscribe un entero positivo h como pq 2 con p libre de cuadrados y q positivo. Establezca d = 2 pq si p es impar, o d = pq si p es par. Para todos los pares ( h, k ) de enteros positivos, los triples están dados por
Los triples primitivos ocurren cuando mcd ( k, h ) = 1 y h = q 2 con q impar o h = 2 q 2 .
Referencias
- ^ Fibonacci, Leonardo Pisano, (1225), Liber Quadratorum .
- ^ Fibonacci, Leonardo Pisano. El libro de los cuadrados (Liber Quadratorum). Una traducción comentada al inglés moderno de LE Sigler. (1987) Orlando, FL: Academic Press. ISBN 978-0-12-643130-8
- ^ Stifel, Michael, (1544), Arithmetica Integra .
- ^ Ozanam, Jacques (1814). "Recreaciones en Matemáticas y Filosofía Natural" . 1 . G. Kearsley: 49 años . Consultado el 19 de noviembre de 2009 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ↑ Ozanam, Jacques, (1844). Ciencia y filosofía natural: traducción del Dr. Hutton de la edición de Ozanam de Montucla, revisada por Edward Riddle, Thomas Tegg, Londres. Leer en línea- Universidad de Cornell
- ^ Dickson, LE (1920), Historia de la teoría de los números , Vol.II. Análisis diofántico , Carnegie Institution of Washington, Publicación No. 256, 12 + 803pp Leer en línea - Universidad de Toronto
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- ^ a b Precio, H. Lee (2008). "El árbol pitagórico: una nueva especie". arXiv : 0809.4324 [ matemáticas.HO ].
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- ^ Barbeau, Edward, Power Play , Asociación matemática de América, 1997, p. 51, ítem 3.
- ^ Wade, Peter y Wade, William, "Recurrencias que producen triples Pythoagorean", College Mathematics Journal 31, marzo de 2000, 98-101.
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