En geometría , Descartes' teorema afirma que por cada cuatro besos, o mutuamente tangentes , círculos , los radios de los círculos satisfacer una cierta ecuación cuadrática . Al resolver esta ecuación, se puede construir un cuarto círculo tangente a tres círculos dados mutuamente tangentes. El teorema lleva el nombre de René Descartes , quien lo declaró en 1643.
Historia
Los problemas geométricos que involucran círculos tangentes se han reflexionado durante milenios. En la antigua Grecia del siglo III a. C., Apolonio de Perge dedicó un libro completo al tema.
René Descartes discutió el problema brevemente en 1643, en una carta a la princesa Isabel del Palatinado . Se le ocurrió esencialmente la misma solución que se da en la ecuación (1) a continuación, y por lo tanto adjuntó su nombre al teorema.
Fueron redescubiertos en 1826 por Jakob Steiner , en 1842 por Philip Beecroft, [1] y en 1936 por Frederick Soddy . Los círculos de besos en este problema a veces se conocen como círculos de Soddy , quizás porque Soddy eligió publicar su versión del teorema en forma de un poema titulado The Kiss Precise , que se imprimió en Nature (20 de junio de 1936). Soddy también extendió el teorema a las esferas; Thorold Gosset extendió el teorema a dimensiones arbitrarias.
Definición de curvatura
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/87/Descartes_Circles.svg/220px-Descartes_Circles.svg.png)
El teorema de Descartes se enuncia más fácilmente en términos de las curvaturas de los círculos . La curvatura (o doblez ) de un círculo se define como k = ± 1 / r , donde r es su radio. Cuanto más grande es un círculo, menor es la magnitud de su curvatura y viceversa.
El signo más en k = ± 1 / r se aplica a un círculo que es externamente tangente a los otros círculos, como los tres círculos negros en la imagen. Para un círculo internamente tangente como el círculo rojo grande, que circunscribe los otros círculos, se aplica el signo negativo.
Si una línea recta se considera un círculo degenerado con curvatura cero (y por lo tanto radio infinito), el teorema de Descartes también se aplica a una línea y dos círculos que son los tres mutuamente tangentes, dando el radio de un tercer círculo tangente a los otros dos círculos. y la linea.
Si cuatro círculos son tangentes entre sí en seis puntos distintos, y los círculos tienen curvaturas k i (para i = 1, ..., 4), el teorema de Descartes dice:
( 1 )
Al tratar de encontrar el radio de un cuarto círculo tangente a tres círculos de besos dados, es mejor reescribir la ecuación como:
( 2 )
El signo ± refleja el hecho de que, en general, hay dos soluciones. Ignorando el caso degenerado de una línea recta, una solución es positiva y la otra es positiva o negativa; si es negativo, representa un círculo que circunscribe a los tres primeros (como se muestra en el diagrama de arriba).
Los criterios específicos del problema pueden favorecer una solución sobre la otra en cualquier problema dado.
Casos especiales
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/a4/KissingCircles2.png/220px-KissingCircles2.png)
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/44/Three_%22Kissing%22_Circles_without_Appolonian_Circles_PNG.png/220px-Three_%22Kissing%22_Circles_without_Appolonian_Circles_PNG.png)
Si uno de los tres círculos se reemplaza por una línea recta, entonces un k i , digamos k 3 , es cero y sale de la ecuación (1) . La ecuación (2) se vuelve mucho más simple:
( 3 )
Si dos círculos se reemplazan por líneas, la tangencia entre los dos círculos reemplazados se convierte en un paralelismo entre sus dos líneas de reemplazo. Para que las cuatro curvas permanezcan mutuamente tangentes, los otros dos círculos deben ser congruentes. En este caso, con k 2 = k 3 = 0, la ecuación (2) se reduce al trivial
No es posible reemplazar tres círculos por líneas, ya que no es posible que tres líneas y un círculo sean mutuamente tangentes. El teorema de Descartes no se aplica cuando los cuatro círculos son tangentes entre sí en el mismo punto.
Otro caso especial es cuando k i son cuadrados,
Euler demostró que esto es equivalente al triplete simultáneo de triples pitagóricos ,
y se le puede dar una solución paramétrica . Cuando se elige el signo menos de una curvatura,
esto se puede resolver [2] como,
dónde
soluciones paramétricas de las cuales son bien conocidas.
Teorema complejo de Descartes
Para determinar un círculo por completo, no solo se debe conocer su radio (o curvatura), sino también su centro. La ecuación relevante se expresa más claramente si las coordenadas ( x , y ) se interpretan como un número complejo z = x + i y . Entonces, la ecuación se parece al teorema de Descartes y, por lo tanto, se denomina teorema complejo de Descartes .
Dados cuatro círculos con curvaturas k i y centros z i (para i = 1 ... 4), la siguiente igualdad se cumple además de la ecuación (1) :
( 4 )
Una vez que se ha encontrado k 4 usando la ecuación (2) , se puede proceder a calcular z 4 reescribiendo la ecuación (4) a una forma similar a la ecuación (2) :
Nuevamente, en general, hay dos soluciones para z 4 , correspondientes a las dos soluciones para k 4 . Tenga en cuenta que el signo más / menos en la fórmula anterior para z no corresponde necesariamente al signo más / menos en la fórmula para k.
Generalizaciones
La generalización en n dimensiones a veces se denomina teorema de Soddy-Gosset , aunque R. Lachlan lo mostró en 1886. En el espacio euclidiano n- dimensional , el número máximo de esferas mutuamente tangentes ( n - 1) es n + 2 . Por ejemplo, en un espacio tridimensional, cinco esferas pueden ser mutuamente tangentes. Las curvaturas de las hiperesferas satisfacen
con el caso k i = 0 correspondiente a un hiperplano plano, en analogía exacta con la versión bidimensional del teorema.
Aunque no existe un análogo tridimensional de los números complejos, la relación entre las posiciones de los centros se puede volver a expresar como una ecuación matricial , que también se generaliza en n dimensiones. [3]
Ver también
Notas
- ^ Diario de dama y caballero núm. 139, p. 91
- ^ Una colección de identidades algebraicas: Sumas de tres o más 4tos poderes
- ^ Jeffrey C. Lagarias; Colin L. Mallows; Allan R. Wilks (abril de 2002). "Más allá del teorema del círculo de Descartes". The American Mathematical Monthly . 109 (4): 338–361. arXiv : matemáticas / 0101066 . doi : 10.2307 / 2695498 . JSTOR 2695498 .
enlaces externos
- Subprograma interactivo que muestra cuatro círculos mutuamente tangentes en el corte del nudo
- El beso preciso
- Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Más allá del teorema del círculo de Descartes