Transformada de Fourier-Mukai
En geometría algebraica , una transformada de Fourier-Mukai Φ K es un funtor entre categorías derivadas de haces coherentes D ( X ) → D ( Y ) para los esquemas X e Y , que es, en cierto sentido, una transformada integral a lo largo de un objeto del núcleo K ∈ D ( X × Y ). La mayoría de los functores naturales, incluidos los básicos como los pushforwards y pullbacks , son de este tipo.
Este tipo de functores fueron introducidos por Mukai ( 1981 ) para probar una equivalencia entre las categorías derivadas de gavillas coherentes en una variedad abeliana y su dual . Esa equivalencia es análoga a la clásica transformada de Fourier que da un isomorfismo entre distribuciones templadas en un espacio vectorial real de dimensión finita y su dual .
Sean X e Y variedades proyectivas suaves , K ∈ D b ( X × Y ) un objeto en la categoría derivada de haces coherentes en su producto. Denotemos por q la proyección X × Y → X , por p la proyección X × Y → Y. Entonces la transformada de Fourier-Mukai Φ K es un funtor D b ( X ) → D b ( Y ) dado por
donde R p * es el functor de imagen directo derivado y es el producto tensorial derivado .
Las transformadas de Fourier-Mukai siempre tienen adjuntos izquierdo y derecho , los cuales también son transformaciones del kernel. Dados dos núcleos K 1 ∈ D b ( X × Y ) y K 2 ∈ D b ( Y × Z ), el funtor compuesto Φ K 2 ∘ Φ K 1 es también una transformada de Fourier-Mukai.
La gavilla de estructura de la diagonal , tomada como un núcleo, produce el funtor de identidad en D b ( X ). Para un morfismo f : X → Y , la estructura del haz de la gráfica Γ f produce un empuje hacia adelante cuando se ve como un objeto en D b ( X × Y ), o un retroceso cuando se ve como un objeto en D b ( Y × X ) .
