En matemáticas , una variedad abelian dual se puede definir a partir de una variedad abeliano A , definido sobre un campo K .
Definición
A una variedad abeliana A sobre un campo k , se asocia una variedad abeliana dual A v (sobre el mismo campo), que es la solución al siguiente problema de módulos . Una familia de haces de líneas de grado 0 parametrizados por una k -variedad T se define como un haz de líneas L en A × T tal que
- para todos , la restricción de L a A × { t } es un paquete de líneas de grado 0,
- la restricción de L a {0} × T es un paquete de líneas trivial (aquí 0 es la identidad de A ).
Luego hay una variedad A v y un paquete de líneas, [ aclaración necesaria ] , llamado paquete de Poincaré, que es una familia de paquetes de líneas de grado 0 parametrizados por A v en el sentido de la definición anterior. Además, esta familia es universal, es decir, a cualquier familia L parametrizada por T se le asocia un morfismo único f : T → A v de modo que L es isomorfo al retroceso de P a lo largo del morfismo 1 A × f : A × T → A × A v . Aplicando esto al caso en el que T es un punto, vemos que los puntos de A v corresponden a haces de líneas de grado 0 en A , por lo que hay una operación de grupo natural en A v dada por el producto tensorial de los haces de líneas, lo que hace que en una variedad abeliana.
En el lenguaje de los functores representables, se puede enunciar el resultado anterior de la siguiente manera. El funtor contravariante, que asocia a cada k -variedad T el conjunto de familias de haces de líneas de grado 0 parametrizados por T y a cada k -morfismo f : T → T ' el mapeo inducido por el retroceso con f , es representable. El elemento universal que representa este funtor es el par ( A v , P ).
Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A vv y A (definido a través del paquete de Poincaré) y que es functorial contravariante , es decir, se asocia a todos los morfismos f : A → B morfismos duales f v : B v → A v de forma compatible. La n- torsión de una variedad abeliana y la n- torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprime a la característica de la base. En general, para todos los n , los esquemas de grupos de n- torsión de las variedades abelianas duales son duales Cartier entre sí. Esto generaliza el emparejamiento de Weil para curvas elípticas.
Historia
La teoría se puso por primera vez en una buena forma cuando K era el campo de los números complejos . En ese caso, existe una forma general de dualidad entre la variedad albanesa de una variedad completa V y su variedad Picard ; esto se realizó, para las definiciones en términos de tori complejos , tan pronto como André Weil dio una definición general de la variedad albanesa. Para una variedad abeliana A , la variedad albanesa es A en sí misma, por lo que el dual debería ser Pic 0 ( A ), el componente conectado de lo que en la terminología contemporánea es el esquema Picard .
Para el caso de la variedad jacobiana J de una superficie Riemann compacta C , la elección de una polarización principal de J da lugar a una identificación de J con su propia variedad Picard. En cierto sentido, esto es solo una consecuencia del teorema de Abel . Para las variedades abelianas generales, aún por encima de los números complejos, A está en la misma clase de isogenia que su dual. Se puede construir una isogenia explícita mediante el uso de una gavilla invertible L en A (es decir, en este caso un haz de líneas holomórficas ), cuando el subgrupo
- K ( L )
de las traducciones en L que toman L en una copia isomorfa es en sí mismo finito. En ese caso, el cociente
- A / K ( L )
es isomorfo a la variedad abeliana dual  .
Esta construcción de  se extiende a cualquier campo K de característica cero . [1] En términos de esta definición, el paquete de Poincaré , un paquete de línea universal se puede definir en
- A × Â .
La construcción cuando K tiene la característica p usa la teoría de esquemas . La definición de K ( L ) tiene que ser en términos de un esquema de grupo que es un estabilizador de la teoría de esquemas , y el cociente tomado es ahora un cociente por un esquema de subgrupos. [2]
Isogenia dual (caso de curva elíptica)
Dada una isogenia
de curvas elípticas de grado, la isogenia dual es una isogenia
del mismo grado tal que
Aquí denota la multiplicación por isogenia que tiene grado
Construcción de la isogenia dual
A menudo, solo se necesita la existencia de una isogenia dual, pero se puede dar explícitamente como la composición
dónde es el grupo de divisores de grado 0. Para hacer esto, necesitamos mapas dada por dónde es el punto neutral de y dada por
Para ver eso , tenga en cuenta que la isogenia original se puede escribir como un compuesto
y que desde es finito de grado, es la multiplicación por en
Alternativamente, podemos usar el grupo Picard más pequeño , un cociente de El mapa desciende a un isomorfismo , La isogenia dual es
Tenga en cuenta que la relación también implica la relación conjugada De hecho, deja Luego Pero es sobreyectiva , por lo que debemos tener
Paquete línea Poincaré
El producto de una variedad abeliana y su dual tiene un paquete de línea canónica, llamado paquete de línea Poincaré . [3] La altura correspondiente para las variedades definidas sobre campos numéricos a veces se denomina altura de Poincaré .
Notas
- ↑ Mumford, Abelian Varieties , págs.74-80
- ↑ Mumford, Abelian Varieties , p.123 en adelante
- ^ Mukai, Shigeru (2003). Introducción a invariantes y módulos . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 81 . Traducido por WM Oxbury. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 400, 412–413. ISBN 0-521-80906-1. Zbl 1033.14008 .
Referencias
- Mumford, David (1985). Variedades abelianas (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-560528-0.
Este artículo incorpora material de Dual isogeny en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .