La ecuación fraccionaria de Schrödinger es una ecuación fundamental de la mecánica cuántica fraccional . Fue descubierto por Nick Laskin (1999) como resultado de la extensión de la integral de la trayectoria de Feynman , desde las trayectorias de la mecánica cuántica de tipo browniano a las de tipo Lévy. El término ecuación fraccionaria de Schrödinger fue acuñado por Nick Laskin. [1]
Fundamentos
La ecuación fraccionaria de Schrödinger en la forma obtenida originalmente por Nick Laskin es: [2]
- r es el vector de posición tridimensional ,
- ħ es la constante de Planck reducida ,
- ψ ( r , t ) es la función de onda , que es la amplitud de probabilidad de la mecánica cuántica para que la partícula tenga una posición dada r en cualquier momento t ,
- V ( r , t ) es una energía potencial ,
- Δ = ∂ 2 / ∂ r 2 es el operador de Laplace .
Más,
- D α es una constante de escala con dimensión física [D α ] = [energía] 1 - α · [longitud] α [tiempo] - α , en α = 2, D 2 = 1/2 m , donde m es una masa de partículas ,
- el operador (- ħ 2 Δ) α / 2 es el derivado de Riesz cuántico fraccional tridimensional definido por (ver, Ref. [2]);
Aquí, la onda funciona en los espacios de posición y momento ; y están relacionados entre sí por las transformadas tridimensionales de Fourier :
El índice α en la ecuación fraccional de Schrödinger es el índice de Lévy, 1 < α ≤ 2. Por lo tanto, la ecuación fraccional de Schrödinger incluye una derivada espacial de orden fraccionario α en lugar de la derivada espacial de segundo orden ( α = 2) en la ecuación estándar de Schrödinger . Por tanto, la ecuación fraccionaria de Schrödinger es una ecuación diferencial fraccionaria de acuerdo con la terminología moderna. [3] Este es el punto principal del término ecuación fraccional de Schrödinger o un término más general de mecánica cuántica fraccional . [4] En α = 2 fraccional, la ecuación de Schrödinger se convierte en la conocida ecuación de Schrödinger .
La ecuación fraccionaria de Schrödinger tiene la siguiente forma de operador
donde el operador fraccional de Hamilton es dado por
El operador de Hamilton ,corresponde a la función hamiltoniana de la mecánica clásica introducida por Nick Laskin
donde p y r son la cantidad de movimiento y los vectores de posición, respectivamente.
Ecuación de Schrödinger fraccionaria independiente del tiempo
El caso especial cuando el hamiltoniano es independiente del tiempo
es de gran importancia para aplicaciones físicas. Es fácil ver que en este caso existe la solución especial de la ecuación fraccionaria de Schrödinger
dónde satisface
o
Ésta es la ecuación de Schrödinger fraccionaria independiente del tiempo (ver, Ref. [2]).
Así, vemos que la función de onda oscila con una frecuencia definida. En física clásica, la frecuencia corresponde a la energía. Por lo tanto, el estado de la mecánica cuántica tiene una energía definida E . La probabilidad de encontrar una partícula en es el cuadrado absoluto de la función de onda Debido a la ecuación fraccional de Schrödinger independiente del tiempo, esto es igual a y no depende del tiempo. Es decir, la probabilidad de encontrar la partícula enes independiente del tiempo. Se puede decir que el sistema está en un estado estacionario. En otras palabras, no hay variación en las probabilidades en función del tiempo.
Densidad de corriente de probabilidad
La ley de conservación de la probabilidad mecánica cuántica fraccionaria ha sido descubierta por primera vez por DATayurskii y Yu.V. Lysogorski [5]
dónde es la densidad de probabilidad de la mecánica cuántica y el vector puede ser llamado por el vector de densidad de corriente de probabilidad fraccional
y
aquí usamos la notación (ver también cálculo de matrices ):.
Se ha encontrado en la Ref. [5] que hay condiciones físicas cuánticas cuando el nuevo términoes insignificante y llegamos a la ecuación de continuidad para la corriente de probabilidad cuántica y la densidad cuántica (ver Ref. [2]):
Presentando al operador de impulso podemos escribir el vector en el formulario (ver, Ref. [2])
Esta es una generalización fraccionada de la conocida ecuación para el vector de densidad de corriente de probabilidad de la mecánica cuántica estándar (ver Ref. [7]).
Operador de velocidad
El operador de velocidad de la mecánica cuántica se define de la siguiente manera:
El cálculo sencillo da como resultado (ver, Ref. [2])
Por eso,
Para obtener la densidad de corriente de probabilidad igual a 1 (la corriente cuando una partícula pasa a través de la unidad de área por unidad de tiempo), la función de onda de una partícula libre debe normalizarse como
dónde es la velocidad de la partícula ,.
Entonces nosotros tenemos
es decir, el vector es de hecho el vector unitario .
Aplicaciones fisicas
Átomo de Bohr fraccional
Cuándo es la energía potencial de un átomo similar al hidrógeno ,
donde e es la carga del electrón y Z es el número atómico del átomo similar al hidrógeno, (entonces Ze es la carga nuclear del átomo), llegamos al siguiente problema de valor propio fraccional ,
Este problema de valor propio fue introducido y resuelto por primera vez por Nick Laskin en. [6]
Utilizando los primeros rendimientos del postulado de Niels Bohr
y nos da la ecuación para el radio de Bohr del átomo fraccional similar al hidrógeno
Aquí un 0 es el radio de Bohr fraccional (el radio de la órbita de Bohr más baja, n = 1) definido como,
Los niveles de energía del átomo fraccionario similar al hidrógeno están dados por
donde E 0 es la energía de enlace del electrón en la órbita más baja de Bohr, es decir, la energía necesaria para ponerlo en un estado con E = 0 correspondiente an = ∞,
La energía ( α - 1) E 0 dividida por ħc , ( α - 1) E 0 / ħc , se puede considerar como una generalización fraccional de la constante de Rydberg de la mecánica cuántica estándar . Para α = 2 y Z = 1 la fórmula se transforma en
- ,
que es la expresión más conocida de la fórmula de Rydberg .
Según el segundo postulado de Niels Bohr , la frecuencia de radiaciónasociado con la transición, digamos, por ejemplo de la órbita m a la órbita n , es,
- .
Las ecuaciones anteriores son una generalización fraccionaria del modelo de Bohr. En el caso especial de Gauss, cuando ( α = 2) esas ecuaciones nos dan los bien conocidos resultados del modelo de Bohr . [7]
El pozo de potencial infinito
Una partícula en un pozo unidimensional se mueve en un campo potencial. , que es cero para y que es infinito en otra parte,
( i )
( ii )
( iii )
Es evidente a priori que el espectro de energía será discreto. La solución de la ecuación fraccional de Schrödinger para el estado estacionario con energía bien definida E se describe mediante una función de onda, que se puede escribir como
dónde , ahora es independiente del tiempo. En las regiones ( i ) y ( iii ), la ecuación fraccionaria de Schrödinger solo puede satisfacerse si tomamos. En la región media ( ii ), la ecuación fraccionaria de Schrödinger independiente del tiempo es (ver Ref. [6]).
Esta ecuación define las funciones de onda y el espectro de energía dentro de la región ( ii ), mientras que fuera de la región (ii), x <- una y x > una , las funciones de onda son cero. La función de onda tiene que ser continuo en todas partes, por lo que imponemos las condiciones de frontera para las soluciones de la ecuación fraccionaria de Schrödinger independiente del tiempo (ver Ref. [6]). Entonces la solución en la región ( ii ) se puede escribir como
Para satisfacer las condiciones de contorno tenemos que elegir
y
De la última ecuación se deduce que
Entonces el par ( bajo reflexión ) solución de la ecuación fraccionaria de Schrödinger independiente del tiempo en el pozo potencial infinito es
El extraño bajo reflexión ) solución de la ecuación fraccionaria de Schrödinger independiente del tiempo en el pozo potencial infinito es
Las soluciones y tener la propiedad que
dónde es el símbolo de Kronecker y
Los valores propios de la partícula en un pozo de potencial infinito son (ver, Ref. [6])
Es obvio que en el caso gaussiano ( α = 2) las ecuaciones anteriores se ö transforman en las ecuaciones mecánicas cuánticas estándar para una partícula en una caja (por ejemplo, consulte la ecuación (20.7) en [8] )
El estado de la energía más baja, el estado fundamental , en el pozo de potencial infinito está representado por elen n = 1,
y su energía es
Oscilador cuántico fraccional
El oscilador cuántico fraccional introducido por Nick Laskin (ver, Ref. [2]) es el modelo mecánico cuántico fraccional con el operador hamiltoniano definido como
donde q es la interacción constante.
La ecuación fraccionaria de Schrödinger para la función de onda del oscilador cuántico fraccional es,
Con el objetivo de buscar una solución en la forma
llegamos a la ecuación fraccionaria de Schrödinger independiente del tiempo,
El hamiltoniano es la generalización fraccional del oscilador armónico cuántico Hamiltoniano 3D de la mecánica cuántica estándar.
Niveles de energía del oscilador cuántico fraccional 1D en aproximación semiclásica
Los niveles de energía del oscilador cuántico fraccional 1D con la función hamiltoniana se encontraron en aproximación semiclásica (ver, Ref. [2]).
Fijamos la energía total igual a E , de modo que
De dónde
En los puntos de inflexión . Por tanto, el movimiento clásico es posible en el rango.
Un uso rutinario de la regla de cuantificación de Bohr-Sommerfeld produce
donde la notación significa la integral sobre un período completo del movimiento clásico y es el punto de inflexión del movimiento clásico.
Para evaluar la integral en la mano derecha introducimos una nueva variable . Entonces nosotros tenemos
La integral sobre dy se puede expresar en términos de la función Beta ,
Por lo tanto,
La ecuación anterior da los niveles de energía de los estados estacionarios para el oscilador cuántico fraccional 1D (ver, Ref. [2]),
Esta ecuación es una generalización de la conocida ecuación de niveles de energía del oscilador armónico cuántico estándar (ver Ref. [7]) y se transforma en ella en α = 2 y β = 2. De esta ecuación se deduce que enlos niveles de energía son equidistantes. Cuándo y los niveles de energía equidistantes pueden ser solo para α = 2 y β = 2. Significa que el único oscilador armónico cuántico estándar tiene un espectro de energía equidistante .
Mecánica cuántica fraccional en sistemas de estado sólido
La masa efectiva de estados en sistemas de estado sólido puede depender del vector de onda k, es decir, formalmente se considera m = m (k). Los modos condensados Polariton Bose-Einstein son ejemplos de estados en sistemas de estado sólido con masa sensible a variaciones y localmente en k fraccional la mecánica cuántica es experimentalmente factible [1] .
Vigas autoaceleradas
Los haces de autoaceleración, como el de Airy , son soluciones conocidas de la ecuación de Schrödinger libre convencional (cony sin un plazo potencial). Existen soluciones equivalentes en la ecuación de Schrödinger fraccional libre. La ecuación de Schrödinger fraccionaria dependiente del tiempo en el espacio de momento (suponiendo y con una coordenada espacial) es:
- .
En el espacio de posición, un haz de Airy se expresa típicamente usando la función especial de Airy, aunque posee una expresión más transparente en el espacio de momento:
Aquí, la función exponencial asegura la integrabilidad cuadrada de la función de onda, es decir, que el haz posee una energía finita, para ser una solución física. El parámetro controla el corte exponencial en la cola de la viga, mientras que el parámetro controla el ancho de los picos en el espacio de posición. La solución de la viga de Airy para la ecuación fraccional de Schrödinger en el espacio de momento se obtiene de la integración simple de la ecuación anterior y la condición inicial:
Esta solución se autoacelera a una velocidad proporcional a . [9] Al tomar para la ecuación de Schrödinger convencional, se recupera la solución original de la viga Airy con una aceleración parabólica ().
Ver también
- Ecuación de Schrödinger
- Formulación integral de ruta
- Relación entre la ecuación de Schrödinger y la fórmula integral de trayectoria de la mecánica cuántica
- Cálculo fraccional
- Oscilador armónico cuántico
- Ecuación de Schrödinger fraccionaria de orden variable
Referencias
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