En física , la mecánica cuántica fraccional es una generalización de la mecánica cuántica estándar , que surge naturalmente cuando los caminos cuánticos de tipo browniano se sustituyen por los de tipo Lévy en la integral de camino de Feynman . Este concepto fue descubierto por Nick Laskin, quien acuñó el término mecánica cuántica fraccional . [1]
Fundamentos
La mecánica cuántica estándar se puede abordar de tres formas diferentes: la mecánica matricial , la ecuación de Schrödinger y la integral de trayectoria de Feynman .
La integral de trayectoria de Feynman [2] es la integral de trayectoria sobre trayectorias mecánicas cuánticas de tipo browniano. La mecánica cuántica fraccional ha sido descubierta por Nick Laskin (1999) como resultado de la expansión de la integral de la trayectoria de Feynman , desde las trayectorias de la mecánica cuántica de tipo browniano a las de tipo Lévy. Una ruta integral sobre las rutas de la mecánica cuántica de tipo Lévy da como resultado una generalización de la mecánica cuántica . [3] Si la integral de trayectoria de Feynman conduce a la conocida ecuación de Schrödinger , entonces la integral de trayectoria sobre las trayectorias de Lévy conduce a la ecuación fraccional de Schrödinger . [4] El proceso de Lévy se caracteriza por el índice de Lévy α , 0 < α ≤ 2. En el caso especial cuando α = 2, el proceso de Lévy se convierte en el proceso de movimiento browniano . La ecuación fraccional de Schrödinger incluye una derivada espacial de orden fraccionario α en lugar de la derivada espacial de segundo orden ( α = 2) en la ecuación estándar de Schrödinger. Por tanto, la ecuación fraccionaria de Schrödinger es una ecuación diferencial fraccionaria de acuerdo con la terminología moderna. [5] Este es el punto clave para lanzar el término ecuación fraccional de Schrödinger y el término más general mecánica cuántica fraccional . Como se mencionó anteriormente, en α = 2 el movimiento de Lévy se convierte en movimiento browniano . Por lo tanto, la mecánica cuántica fraccional incluye la mecánica cuántica estándar como un caso particular en α = 2. La integral de trayectoria mecánica cuántica sobre las trayectorias de Lévy en α = 2 se convierte en la bien conocida integral de trayectoria de Feynman y la ecuación fraccional de Schrödinger se convierte en la conocida Ecuación de Schrödinger .
Ecuación fraccional de Schrödinger
La ecuación fraccional de Schrödinger descubierta por Nick Laskin tiene la siguiente forma (ver Refs. [1,3,4])
utilizando las definiciones estándar:
- r es el vector de posición tridimensional ,
- ħ es la constante de Planck reducida ,
- ψ ( r , t ) es la función de onda , que es la función mecánica cuántica que determina la amplitud de probabilidad de que la partícula tenga una posición determinada r en un momento dado t ,
- V ( r , t ) es una energía potencial ,
- Δ = ∂ 2 / ∂ r 2 es el operador de Laplace .
Más,
- D α es una constante de escala con dimensión física [D α ] = [energía] 1 - α · [longitud] α [tiempo] - α , en α = 2, D 2 = 1/2 m , donde m es una masa de partículas ,
- el operador (- ħ 2 Δ) α / 2 es el derivado de Riesz cuántico fraccional tridimensional definido por (ver, Refs. [3, 4]);
Aquí, la onda funciona en los espacios de posición y momento ; y están relacionados entre sí por las transformadas tridimensionales de Fourier :
El índice α en la ecuación fraccional de Schrödinger es el índice de Lévy, 1 < α ≤ 2.
Mecánica cuántica fraccional en sistemas de estado sólido
La masa efectiva de estados en sistemas de estado sólido puede depender del vector de onda k, es decir, formalmente se considera m = m (k). Los modos de condensado Polariton Bose-Einstein son ejemplos de estados en sistemas de estado sólido con masa sensible a variaciones y localmente en k fraccional la mecánica cuántica es experimentalmente factible.
Ver también
Referencias
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- ^ RP Feynman y AR Hibbs, Mecánica cuántica e integrales de ruta ~ McGraw-Hill, Nueva York, 1965
- ^ Laskin, Nick (1 de agosto de 2000). "Mecánica cuántica fraccional". Revisión E física . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 62 (3): 3135–3145. arXiv : 0811.1769 . Código Bibliográfico : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10.1103 / physreve.62.3135 . ISSN 1063-651X .
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