Estas definiciones utilizan la base de posición (es decir, para una función de onda en el espacio de posición ), pero el espacio de momento es posible.
Si la partícula tiene espín , tiene un momento magnético correspondiente , por lo que es necesario agregar un término adicional que incorpore la interacción del espín con el campo electromagnético. En unidades SI: [3]
donde S es el vector de espín de la partícula con el correspondiente momento magnético de espín μ S y el número cuántico de espín s . En unidades gaussianas:
Escrito de esta manera, la densidad de probabilidad es
y la corriente de probabilidad es:
Los términos exponenciales y R ∇ R se cancelan:
Finalmente, combinando y cancelando las constantes, y reemplazando R 2 con ρ,
Si tomamos la fórmula familiar para la corriente:
donde v es la velocidad de la partícula (también la velocidad de grupo de la onda), podemos asociar la velocidad con ∇ S / m , que es lo mismo que igualar ∇ S con el momento clásico p = m v . Esta interpretación encaja con la teoría de Hamilton-Jacobi , en la que
en coordenadas cartesianas viene dado por ∇ S , donde S es la función principal de Hamilton .
Motivación
Ecuación de continuidad para mecánica cuántica
La definición de corriente de probabilidad y la ecuación de Schrödinger se pueden utilizar para derivar la ecuación de continuidad , que tiene exactamente las mismas formas que las de la hidrodinámica y el electromagnetismo : [5]
donde la densidad de probabilidad Se define como
.
Si se integraran ambos lados de la ecuación de continuidad con respecto al volumen, de modo que
entonces el teorema de divergencia implica que la ecuación de continuidad es equivalente a la ecuación integral
donde el V es cualquier volumen y S es el límite de V . Ésta es la ley de conservación de la probabilidad en mecánica cuántica.
En particular, si Ψ es una función de onda que describe una sola partícula, la integral en el primer término de la ecuación anterior, sin derivada del tiempo, es la probabilidad de obtener un valor dentro de V cuando se mide la posición de la partícula. El segundo término es entonces la velocidad a la que la probabilidad está fluyendo fuera del volumen V . En total los estados de ecuaciones que la derivada de tiempo de la probabilidad de la partícula que se está midiendo en V es igual a la velocidad a la que fluye la probabilidad en V .
Transmisión y reflexión a través de potenciales
En regiones donde se produce un potencial escalonado o una barrera potencial , la corriente de probabilidad está relacionada con los coeficientes de transmisión y reflexión, respectivamente T y R ; miden el grado en que las partículas se reflejan de la barrera potencial o se transmiten a través de ella. Ambos satisfacen:
donde T y R se pueden definir por:
donde j inc , j ref y j trans son las corrientes de probabilidad incidente, reflejada y transmitida respectivamente, y las barras verticales indican las magnitudes de los vectores de corriente. La relación entre T y R se puede obtener a partir de la conservación de la probabilidad:
En términos de un vector unitario n normal a la barrera, estos son de manera equivalente:
donde se requieren los valores absolutos para evitar que T y R sean negativos.
Ejemplos de
Onda plana
Para una onda plana que se propaga en el espacio:
la densidad de probabilidad es constante en todas partes;
(es decir, las ondas planas son estados estacionarios ) pero la corriente de probabilidad es distinta de cero: el cuadrado de la amplitud absoluta de la onda multiplicada por la velocidad de la partícula;
ilustrando que la partícula puede estar en movimiento incluso si su densidad de probabilidad espacial no tiene una dependencia explícita del tiempo.
Partícula en una caja
Para una partícula en una caja , en una dimensión espacial y de longitud L , confinada a la región;
los autoestados de energía son
y cero en otros lugares. Las corrientes de probabilidad asociadas son
desde
Definición discreta
Para una partícula en una dimensión en , tenemos el hamiltoniano dónde es el discreto laplaciano, con ser el operador de turno correcto en . Entonces la corriente de probabilidad se define como, con el operador de velocidad, igual a y es el operador de posición en . Desde suele ser un operador de multiplicación en , podemos escribir con seguridad .
Como resultado, encontramos:
Referencias
^ Teoría cuántica de campos, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
^ Mecánica cuántica, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Curso intensivo de esquemas fáciles de Schaum, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 978-0-07-145533-6
^ Mecánica analítica , LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ Mecánica cuántica, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2da edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0