operador Fredholm
En matemáticas , los operadores de Fredholm son ciertos operadores que surgen en la teoría de ecuaciones integrales de Fredholm . Reciben su nombre en honor a Erik Ivar Fredholm . Por definición, un operador de Fredholm es un operador lineal acotado T : X → Y entre dos espacios de Banach con kernel de dimensión finita y cokernel de dimensión finita (algebraica) , y con rango cerrado . La última condición es realmente redundante. [1]
Intuitivamente, los operadores de Fredholm son aquellos operadores que son invertibles "si se ignoran los efectos de dimensión finita". El enunciado formalmente correcto sigue. Un operador acotado T : X → Y entre los espacios de Banach X e Y es Fredholm si y sólo si es un operador compacto módulo invertible , es decir, si existe un operador lineal acotado
Si un operador de Fredholm se modifica ligeramente, sigue siendo Fredholm y su índice sigue siendo el mismo. Formalmente: El conjunto de operadores de Fredholm de X a Y está abierto en el espacio de Banach L( X , Y ) de operadores lineales acotados, equipado con la norma del operador , y el índice es localmente constante. Más precisamente, si T 0 es Fredholm de X a Y , existe ε > 0 tal que todo T en L( X , Y ) con || T − T 0 || < εes Fredholm, con el mismo índice que el de T 0 .
Cuando T es Fredholm de X a Y y U Fredholm de Y a Z , entonces la composición es Fredholm de X a Z y
Cuando T es Fredholm, el operador transpuesto (o adjunto) T ′ es Fredholm de Y ′ a X ′ , e ind( T ′) = −ind( T ) . Cuando X e Y son espacios de Hilbert , la misma conclusión vale para el adjunto hermitiano T * .
Cuando T es Fredholm y K un operador compacto, entonces T + K es Fredholm. El índice de T permanece sin cambios bajo tales perturbaciones compactas de T . Esto se sigue del hecho de que el índice i ( s ) de T + s K es un número entero definido para cada s en [0, 1], y i ( s ) es localmente constante, por lo tanto i (1) = i (0) .