En álgebra , una presentación libre de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es una secuencia exacta de R -módulos:
Tenga en cuenta la imagen bajo g de la base estándar genera M . En particular, si J es finito, entonces M es un módulo generado finitamente . Si I y J son conjuntos finitos, entonces la presentación se llama presentación finita ; un módulo se denomina presentado de forma finita si admite una presentación finita.
Dado que f es un homomorfismo de módulo entre módulos libres, se puede visualizar como una matriz (infinita) con entradas en R y M como su cokernel.
Siempre existe una presentación gratuita: cualquier módulo es un cociente de un módulo gratuito: , pero luego el kernel de g es nuevamente un cociente de un módulo libre:. La combinación de f y g es una presentación libre de M . Ahora, obviamente, uno puede seguir "resolviendo" los núcleos de esta manera; el resultado se llama resolución libre . Por lo tanto, una presentación gratuita es la primera parte de la resolución libre.
Una presentación es útil para el cálculo. Por ejemplo, dado que la tensión es exacta a la derecha, la tensión de la presentación anterior con un módulo, digamos N , da:
Esto dice que es el cokernel de . Si N es un álgebra R , entonces esta es la presentación del módulo N; es decir, la presentación se extiende por debajo de la extensión base.
Para los functores exactos a la izquierda , hay por ejemplo
Propuesta - Let F , G se funtores contravariantes exactas dejó-de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R a grupos abelianos y theta una transformación natural de F a G . Sies un isomorfismo para cada número natural n , entonceses un isomorfismo para cualquier módulo M presentado de forma finita .
Prueba: Aplicar F a una presentación finita resultados en
Ver también
Referencias
- Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con una visión hacia la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .