El lema de la serpiente es una herramienta utilizada en matemáticas , particularmente en álgebra homológica , para construir secuencias largas y exactas . El lema de la serpiente es válido en todas las categorías abelianas y es una herramienta crucial en el álgebra homológica y sus aplicaciones, por ejemplo, en la topología algebraica . Los homomorfismos construidos con su ayuda se denominan generalmente homomorfismos de conexión .
Declaración
En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado ), considere un diagrama conmutativo :
donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero .
Entonces hay una secuencia exacta que relaciona los granos y conúcleos de un , b , y c :
donde d es un homomorfismo, conocido como homomorfismo de conexión .
Además, si el morfismo f es un monomorfismo , entonces también lo es el morfismo, y si g ' es un epimorfismo , entonces también lo es.
Los cokernels aquí son: , , .
Explicación del nombre
Para ver de dónde obtiene su nombre el lema de la serpiente, expanda el diagrama de arriba de la siguiente manera:
y luego observe que la secuencia exacta que es la conclusión del lema se puede dibujar en este diagrama expandido en la forma de "S" invertida de una serpiente deslizándose .
Construcción de los mapas
Los mapas entre los núcleos y los mapas entre los cokernels son inducidos de manera natural por los mapas dados (horizontales) debido a la conmutatividad del diagrama. La exactitud de las dos secuencias inducidas se deriva de forma sencilla de la exactitud de las filas del diagrama original. La afirmación importante del lema es que existe un homomorfismo de conexión d que completa la secuencia exacta.
En el caso de grupos o módulos abelianos sobre algún anillo , el mapa d se puede construir de la siguiente manera:
Elija un elemento x en ker c y véalo como un elemento de C ; dado que g es sobreyectiva , existe y en B con g ( y ) = x . Debido a la conmutatividad del diagrama, tenemos g ' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (ya que x está en el núcleo de c ), y por lo tanto b ( y ) está en el núcleo de g ' . Dado que la fila inferior es exacta, encontramos un elemento z en A ' con f ' ( z ) = b ( y ). z es único por inyectividad de f '. Luego definimos d ( x ) = z + im ( a ). Ahora hay que comprobar que d está bien definido (es decir, d ( x ) solo depende de x y no de la elección de y ), que es un homomorfismo y que la secuencia larga resultante es de hecho exacta. Se puede verificar rutinariamente la exactitud mediante la búsqueda de diagramas (ver la demostración del Lema 9.1 en [1] ).
Una vez hecho esto, se prueba el teorema para grupos o módulos abelianos sobre un anillo. Para el caso general, el argumento puede reformularse en términos de propiedades de flechas y cancelación en lugar de elementos. Alternativamente, se puede invocar el teorema de inclusión de Mitchell .
Naturalidad
En las aplicaciones, a menudo es necesario demostrar que las secuencias largas y exactas son "naturales" (en el sentido de transformaciones naturales ). Esto se deriva de la naturalidad de la secuencia producida por el lema de la serpiente.
Si
es un diagrama conmutativo con filas exactas, entonces el lema de la serpiente se puede aplicar dos veces, al "frente" y al "reverso", produciendo dos largas secuencias exactas; estos están relacionados por un diagrama conmutativo de la forma
Ejemplo
Dejar ser campo, ser un -espacio vectorial. es -módulo de ser un -transformación lineal, por lo que podemos tensor y encima .
Dada una breve secuencia exacta de -espacios vectoriales , podemos inducir una secuencia exacta por la exactitud correcta del producto tensorial. Pero la secuenciano es exacto en general. De ahí que surja una pregunta natural. ¿Por qué esta secuencia no es exacta?
Según el diagrama anterior, podemos inducir una secuencia exacta aplicando el lema de la serpiente. Por lo tanto, podemos ver que el lema de la serpiente refleja que el producto tensorial no es exacto.
En la cultura popular
La prueba del lema de la serpiente la enseña el personaje de Jill Clayburgh al comienzo de la película de 1980 It's My Turn . [2]
Ver también
Referencias
- ^ Lang, Serge (2005). Álgebra (Rev. 3. ed., Corr. Impresión. Ed.). Nueva York, NY: Springer. pag. 159. ISBN 978-0-387-95385-4.
- ^ Schochet, CL (1999). "El lema de la serpiente topológica y álgebras de corona" (PDF) . Revista de Matemáticas de Nueva York . 5 : 131-137.
- Serge Lang : Álgebra . 3a edición, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4 , págs. 157–159 ( copia en línea , pág. 157, en Google Books )
- MF Atiyah ; IG Macdonald : Introducción al álgebra conmutativa . Oxford 1969, Addison – Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9 .
- P. Hilton; U. Stammbach: Un curso de álgebra homológica. 2. Auflage, Springer Verlag, Textos de posgrado en matemáticas , 1997, ISBN 0-387-94823-6 , pág. 99 ( copia en línea , p. 99, en Google Books )