La probabilidad libre es una teoría matemática que estudia variables aleatorias no conmutativas . La propiedad de "libertad" o independencia libre es análoga a la noción clásica de independencia y está relacionada con los productos libres . Esta teoría fue iniciada por Dan Voiculescu alrededor de 1986 para atacar el problema del isomorfismo de factores de grupo libre, un importante problema sin resolver en la teoría de las álgebras de operadores . Dado un grupo libre en cierto número de generadores, podemos considerar el álgebra de von Neumann generada por el álgebra de grupos , que es un tipo II1 factor . El problema del isomorfismo pregunta si estos son isomorfos para diferentes números de generadores. Ni siquiera se sabe si dos factores de grupo libres son isomorfos. Esto es similar al problema de grupos libres de Tarski , que pregunta si dos grupos libres generados finitamente no abelianos diferentes tienen la misma teoría elemental.
Posteriormente se establecieron conexiones con la teoría de matrices aleatorias , combinatoria , representaciones de grupos simétricos , grandes desviaciones , teoría de la información cuántica y otras teorías. La probabilidad libre se encuentra actualmente en investigación activa.
Normalmente, las variables aleatorias se encuentran en un álgebra unital A , como un álgebra C * o un álgebra de von Neumann . El álgebra viene equipada con una expectativa no conmutativa , un funcional lineal φ: A → C tal que φ (1) = 1. Entonces se dice que las subálgebras unitales A 1 , ..., A m son libremente independientes si la expectativa del producto a 1 ... a n es cero siempre que cada a j tiene expectativa cero, se encuentra en una A k , y ninguna a j adyacente proviene de la misma subálgebra A k . Las variables aleatorias son libremente independientes si generan subálgebras unitales libremente independientes.
Uno de los objetivos de la probabilidad libre (aún no cumplido) fue construir nuevos invariantes de álgebras de von Neumann y la dimensión libre se considera un candidato razonable para tal invariante. La principal herramienta utilizada para la construcción de dimensión libre es la entropía libre.
La relación de probabilidad libre con matrices aleatorias es una razón clave para el amplio uso de probabilidad libre en otros temas. Voiculescu introdujo el concepto de libertad alrededor de 1983 en un contexto algebraico de operadores; al principio no existía ninguna relación con las matrices aleatorias. Esta conexión sólo fue revelada más tarde en 1991 por Voiculescu; estaba motivado por el hecho de que la distribución límite que encontró en su teorema del límite central libre había aparecido antes en la ley del semicírculo de Wigner en el contexto de la matriz aleatoria.
El funcional acumulativo libre (introducido por Roland Speicher ) [1] juega un papel importante en la teoría. Está relacionado con el entramado de particiones no cruzadas del conjunto {1, ..., n } de la misma forma en que el funcional acumulativo clásico se relaciona con el entramado de todas las particiones de ese conjunto.
Ver también
Referencias
Citas
- ^ Speicher, Roland (1994), "Funciones multiplicativas en la red de particiones que no se cruzan y convolución libre", Mathematische Annalen , 298 (4): 611–628, doi : 10.1007 / BF01459754 , MR 1268597.
Fuentes
- D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Probabilidad libre y álgebras de operadores , Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016
- James A. Mingo, Roland Speicher: Probabilidad libre y matrices aleatorias . Monografías del Fields Institute, vol. 35, Springer, Nueva York, 2017.
- A. Nica, R. Speicher: Conferencias sobre la combinatoria de la probabilidad libre. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2006, ISBN 0-521-85852-6
- Fumio Hiai y Denis Petz, La ley del semicírculo, variables aleatorias libres y entropía , ISBN 0-8218-2081-8
- Mitchener, PD (2005) Teoría de la probabilidad no conmutativa , preimpresión
- Voiculescu, DV; Dykema, KJ; Nica, A. Variables aleatorias libres. Un enfoque de probabilidad no conmutativa para productos libres con aplicaciones a matrices aleatorias, álgebras de operadores y análisis armónico en grupos libres. Serie de monografías de CRM, 1. American Mathematical Society, Providence, RI, 1992. ISBN 0-8218-6999-X
- Terence Tao , 254A, Notas 5: Probabilidad libre (10 de febrero de 2010), notas del curso para el curso de posgrado sobre "Temas de la teoría de matrices aleatorias"
- Roland Speicher: Teoría de la probabilidad libre , notas del curso
enlaces externos
- Voiculescu recibe el premio NAS en matemáticas : contiene una descripción legible de probabilidad libre.
- RMTool : una calculadora de probabilidad gratuita basada en MATLAB.
- Cátedra Alcatel-Lucent sobre aplicaciones de radio flexible de probabilidad libre para comunicaciones inalámbricas .
- artículos de encuesta de Roland Speicher sobre probabilidad libre.
- blog sobre probabilidad libre
- conferencias grabadas sobre probabilidad libre