En la teoría matemática de la probabilidad libre , Dan Voiculescu introdujo la noción de independencia libre . [1] La definición de independencia libre es paralela a la definición clásica de independencia , excepto que el papel de los productos cartesianos de los espacios de medida (correspondientes a los productos tensoriales de sus álgebras de función) se juega con la noción de un producto libre de (no- conmutativa) espacios de probabilidad.
En el contexto de la teoría de probabilidad libre de Voiculescu, muchos teoremas o fenómenos de probabilidad clásica tienen análogos de probabilidad libre: el mismo teorema o fenómeno se cumple (quizás con ligeras modificaciones) si la noción clásica de independencia es reemplazada por independencia libre. Ejemplos de esto incluyen: el teorema del límite central libre; nociones de convolución libre ; existencia de cálculo estocástico libre y así sucesivamente.
Dejar ser un espacio de probabilidad no conmutativo , es decir, un álgebra unital encima equipado con un funcional lineal unital . Como ejemplo, se podría tomar, como medida de probabilidad,
Otro ejemplo puede ser , el álgebra de matrices con el funcional dado por la traza normalizada . Incluso de manera más general,podría ser un álgebra de von Neumann y un estado en . Un último ejemplo es el álgebra de grupos. de un grupo (discreto) con lo funcional dado por el seguimiento del grupo .
Dejar ser una familia de subálgebras unitales de .
Definición . La familiase llama libremente independiente si cuando sea , y .
Si , es una familia de elementos de (estos pueden considerarse como variables aleatorias en ), se les llama
libremente independiente si las álgebras generado por y son libremente independientes.
Ejemplos de independencia libre
- Dejar ser el producto gratuito de grupos, dejar ser el álgebra de grupo, ser el seguimiento del grupo y establecer . Luego son libremente independientes.
- Dejar ser matrices unitarias aleatorias , tomadas independientemente al azar de la grupo unitario (con respecto a la medida Haar ). Luego volverse asintóticamente libremente independientes como . (Libertad asintótica significa que la definición de libertad se mantiene en el límite como).
- De manera más general, las matrices aleatorias independientes tienden a ser asintóticamente libremente independientes, bajo ciertas condiciones.
Referencias
- ^ D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, "Variables aleatorias libres", Serie de monografías CIRM, AMS, Providence, RI, 1992
Fuentes
- James A. Mingo, Roland Speicher: Probabilidad libre y matrices aleatorias . Monografías del Fields Institute, vol. 35, Springer, Nueva York, 2017.