La distribución de semicírculo de Wigner , llamada así por el físico Eugene Wigner , es la distribución de probabilidad en [- R , R ] cuya función de densidad de probabilidad f es un semicírculo escalado (es decir, una semielipse) centrada en (0, 0):
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | radio ( real ) | ||
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Apoyo | |||
CDF | por | ||
Significar | |||
Mediana | |||
Modo | |||
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Oblicuidad | |||
Ex. curtosis | |||
Entropía | |||
MGF | |||
CF |
para - R ≤ x ≤ R , y f ( x ) = 0 si | x | > R .
También es una distribución beta escalada : si Y tiene una distribución beta con parámetros α = β = 3/2, entonces X = 2 RY - R tiene la distribución de semicírculo de Wigner.
La distribución surge como la distribución límite de los valores propios de muchas matrices simétricas aleatorias a medida que el tamaño de la matriz se acerca al infinito. La distribución del espacio entre valores propios se aborda en la conjetura de Wigner, denominada de manera similar .
Propiedades generales
Los polinomios de Chebyshev del segundo tipo son polinomios ortogonales con respecto a la distribución del semicírculo de Wigner.
Para enteros positivos n , el 2 n -ésimo momento de esta distribución es
donde X es cualquier variable aleatoria con esta distribución y C n es el n- ésimo número catalán
de modo que los momentos son los números catalanes si R = 2. (Debido a la simetría, todos los momentos de orden impar son cero).
Haciendo la sustitución en la ecuación definitoria para la función generadora de momento se puede ver que:
que se puede resolver (ver Abramowitz y Stegun §9.6.18) para producir:
dónde es la función de Bessel modificada . Asimismo, la función característica viene dada por: [1] [2] [3]
dónde es la función de Bessel. (Ver Abramowitz y Stegun §9.1.20) , señalando que la integral correspondiente que involucra es cero.)
En el limite de acercándose a cero, la distribución del semicírculo de Wigner se convierte en una función delta de Dirac .
Relación con la probabilidad libre
En la teoría de la probabilidad libre , el papel de la distribución de semicírculo de Wigner es análogo al de la distribución normal en la teoría de la probabilidad clásica. Es decir, en la teoría de la probabilidad libre, el papel de los acumulantes lo ocupan los "acumuladores libres", cuya relación con los acumuladores ordinarios es simplemente que el papel del conjunto de todas las particiones de un conjunto finito en la teoría de los acumuladores ordinarios es reemplazado por el conjunto de todas las particiones que no se cruzan de un conjunto finito. Así como los acumulados de grado mayor que 2 de una distribución de probabilidad son todos cero si y solo si la distribución es normal, así también, los acumulados libres de grado mayor que 2 de una distribución de probabilidad son todos cero si y solo si la distribución es Distribución de semicírculo de Wigner.
Distribuciones relacionadas
Distribución parabólica (esférica) de Wigner
Parámetros | radio ( real ) | ||
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Apoyo | |||
CDF | |||
MGF | |||
CF |
La distribución de probabilidad parabólica [ cita requerida ] apoyada en el intervalo [- R , R ] del radio R centrado en (0, 0):
para - R ≤ x ≤ R , y f ( x ) = 0 si | x | > R .
Ejemplo. La distribución conjunta es
Por tanto, la PDF marginal de la distribución esférica (paramétrica) es: [4]
tal que R = 1
La función característica de una distribución esférica se convierte en el patrón de multiplicación de los valores esperados de las distribuciones en X, Y y Z.
La distribución parabólica de Wigner también se considera el momento monopolo de los orbitales atómicos similares al hidrógeno.
Distribución de n-esferas de Wigner
La función de densidad de probabilidad normalizada de N-esferas apoyada en el intervalo [−1, 1] del radio 1 centrado en (0, 0):
,
para −1 ≤ x ≤ 1, y f ( x ) = 0 si | x | > 1.
Ejemplo. La distribución conjunta es
Por lo tanto, la distribución de PDF marginal es [4]
tal que R = 1
La función de distribución acumulativa (CDF) es
tal que R = 1 yn> = -1
La función característica (CF) del PDF está relacionada con la distribución beta como se muestra a continuación
En términos de funciones de Bessel, esto es
Los momentos crudos del PDF son
Los momentos centrales son
Los momentos de probabilidad correspondientes (media, varianza, sesgo, curtosis y exceso de curtosis) son:
Los momentos brutos de la función característica son:
Para una distribución uniforme, los momentos son [5]
Por tanto, los momentos del CF (siempre que N = 1) sean
La inclinación y la curtosis también se pueden simplificar en términos de funciones de Bessel.
La entropía se calcula como
Los primeros 5 momentos (n = -1 a 3), tales que R = 1 son
Distribución de Wigner de N-esfera con simetría impar aplicada
La distribución de PDF marginal con simetría impar es [4]
tal que R = 1
Por lo tanto, el CF se expresa en términos de funciones de Struve.
"La función Struve surge en el problema del radiador de pistón rígido montado en un deflector infinito, que tiene una impedancia de radiación dada por" [6]
Ejemplo (intensidad de la señal recibida normalizada): términos de cuadratura
La intensidad de la señal recibida normalizada se define como
y usando términos de cuadratura estándar
Por lo tanto, para una distribución uniforme expandimos el NRSS, de modo que x = 1 y y = 0, obteniendo
La forma ampliada de la función característica de la intensidad de la señal recibida se convierte en [7]
Ver también
- Conjetura de Wigner
- La Wsd es el límite de las distribuciones de Kesten-McKay , ya que el parámetro d tiende a infinito.
- En la literatura sobre teoría de números , la distribución de Wigner a veces se denomina distribución de Sato-Tate. Ver la conjetura de Sato-Tate .
- Distribución de Marchenko-Pastur o distribución de Poisson libre
Referencias
- ^ Buchanan, Kristopher; Flores, Carlos; Wheeland, Sara; Jensen, Jeffrey; Grayson, David; Huff, Gregory (2017). "Transmitir formación de haz para aplicaciones de radar utilizando matrices aleatorias cónicas circularmente". Conferencia de radar IEEE 2017 (Radar Conf ) . págs. 0112–0117. doi : 10.1109 / RADAR.2017.7944181 . ISBN 978-1-4673-8823-8. S2CID 38429370 .
- ^ https://oaktrust.library.tamu.edu/handle/1969.1/157918
- ^ Overturf, Drew; Buchanan, Kristopher; Jensen, Jeffrey; Wheeland, Sara; Huff, Gregory (2017). "Investigación de patrones de formación de haces de matrices en fase distribuidas volumétricamente". MILCOM 2017 - Conferencia de Comunicaciones Militares IEEE 2017 (MILCOM) . págs. 817–822. doi : 10.1109 / MILCOM.2017.8170756 . ISBN 978-1-5386-0595-0. S2CID 11591305 . https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8170756/
- ^ a b c Buchanan, K .; Huff, GH (julio de 2011). "Una comparación de matrices aleatorias unidas geométricamente en el espacio euclidiano". Simposio internacional de IEEE 2011 sobre antenas y propagación (APSURSI) : 2008-2011. doi : 10.1109 / APS.2011.5996900 . ISBN 978-1-4244-9563-4. S2CID 10446533 .
- ^ Thomas M. Cover (1963). "Distribución de patrones de antena desde arreglo aleatorio" (PDF) (MEMORANDUM RM-3502 - PR). Santa Mónica: The RAND Corporation.
- ^ W., Weisstein, Eric. "Función Struve" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de julio de 2017 .
- ^ "Formación de haces avanzada para redes distribuidas y multihaz" (PDF) .
- Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas. Nueva York: Dover, 1972.
enlaces externos
- Eric W. Weisstein et al., Semicírculo de Wigner