El Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( FLRW ; / f r i d m ə n l ə m ɛ t r ə ... / ) métrica es una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general ; Describe un universo homogéneo , isotrópico , en expansión (o de otro modo, en contracción) que está conectado por caminos , pero no necesariamentesimplemente conectado . [1] [2] [3] La forma general de la métrica se deriva de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía; Las ecuaciones de campo de Einstein solo son necesarias para derivar el factor de escala del universo en función del tiempo. Dependiendo de las preferencias geográficas o históricas, el conjunto de los cuatro científicos ( Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. Robertson y Arthur Geoffrey Walker ) se agrupan habitualmente como Friedmann o Friedmann-Robertson-Walker ( FRW ) o Robertson-Walker ( RW ). o Friedmann-Lemaître ( FL ). Este modelo a veces se denomina Modelo Estándar de la cosmología moderna , [4] aunque dicha descripción también está asociada con el modelo Lambda-CDM más desarrollado . El modelo FLRW fue desarrollado de forma independiente por los autores mencionados en las décadas de 1920 y 1930.
Métrica general
La métrica FLRW comienza con el supuesto de homogeneidad e isotropía del espacio. También asume que el componente espacial de la métrica puede depender del tiempo. La métrica genérica que cumple estas condiciones es
dónde abarca un espacio tridimensional de curvatura uniforme, es decir, espacio elíptico , espacio euclidiano o espacio hiperbólico . Normalmente se escribe en función de tres coordenadas espaciales, pero existen varias convenciones para hacerlo, que se detallan a continuación.no depende de t - toda la dependencia del tiempo está en la función a ( t ), conocida como el " factor de escala ".
Coordenadas polares de circunferencia reducida
En coordenadas polares de circunferencia reducida, la métrica espacial tiene la forma
k es una constante que representa la curvatura del espacio. Hay dos convenciones de unidades comunes:
- Se puede considerar que k tiene unidades de longitud -2 , en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a ( t ) no tiene unidades. k es entonces la curvatura gaussiana del espacio en el momento en que a ( t ) = 1. r a veces se denomina circunferencia reducida porque es igual a la circunferencia medida de un círculo (en ese valor de r ), centrado en el origen , dividido por 2 π (como la r de las coordenadas de Schwarzschild ). Cuando sea apropiado, a ( t ) se elige a menudo para que sea igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo quemide la distancia comoving .
- Alternativamente, se puede considerar que k pertenece al conjunto {−1,0, + 1} (para curvatura negativa, cero y positiva, respectivamente). Entonces r no tiene unidades y a ( t ) tiene unidades de longitud. Cuando k = ± 1, a ( t ) es el radio de curvatura del espacio y también puede escribirse R ( t ).
Una desventaja de las coordenadas de circunferencia reducidas es que cubren solo la mitad de las 3 esferas en el caso de una curvatura positiva; las circunferencias más allá de ese punto comienzan a disminuir, lo que conduce a la degeneración. (Esto no es un problema si el espacio es elíptico , es decir, una esfera de 3 con puntos opuestos identificados).
Coordenadas hiperesféricas
En coordenadas hiperesféricas o con curvatura normalizada, la coordenada r es proporcional a la distancia radial; esto da
dónde es como antes y
Como antes, hay dos convenciones de unidades comunes:
- Se puede considerar que k tiene unidades de longitud -2 , en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a ( t ) no tiene unidades. k es entonces la curvatura gaussiana [ aclaración necesaria ] del espacio en el momento en que a ( t ) = 1. Cuando sea apropiado, a ( t ) a menudo se elige igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo quemide la distancia comoving .
- Alternativamente, como antes, se puede considerar que k pertenece al conjunto {−1,0, + 1} (para curvatura negativa, cero y positiva, respectivamente). Entonces r no tiene unidades y a ( t ) tiene unidades de longitud. Cuando k = ± 1, a ( t ) es el radio de curvatura del espacio y también puede escribirse R ( t ). Tenga en cuenta que cuando k = +1, r es esencialmente un tercer ángulo junto con θ y φ . Se puede usar la letra χ en lugar de r .
Aunque generalmente se define por partes como se indicó anteriormente, S es una función analítica tanto de k como de r . También se puede escribir como una serie de potencias.
o como
donde sinc es la función sinc no normalizada yes una de las raíces cuadradas imaginarias, cero o reales de k . Estas definiciones son válidas para todos los k .
Coordenadas cartesianas
Cuando k = 0 se puede escribir simplemente
Esto se puede extender a k ≠ 0 definiendo
- ,
- , y
- ,
donde r es una de las coordenadas radiales definidas anteriormente, pero esto es raro.
Curvatura
Coordenadas cartesianas
En plano Espacio FLRW usando coordenadas cartesianas, los componentes supervivientes del tensor de Ricci son [5]
y el escalar de Ricci es
Coordenadas esféricas
En un espacio FLRW más general que usa coordenadas esféricas (llamadas "coordenadas polares de circunferencia reducida" arriba), los componentes supervivientes del tensor de Ricci son [6]
y el escalar de Ricci es
Soluciones
Las ecuaciones de campo de Einstein no se utilizan para derivar la forma general de la métrica: se sigue de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía. Sin embargo, al determinar la evolución temporal de requiere las ecuaciones de campo de Einstein junto con una forma de calcular la densidad, como una ecuación cosmológica de estado .
Esta métrica tiene una solución analítica para las ecuaciones de campo de Einstein. dando las ecuaciones de Friedmann cuando se asume de manera similar que el tensor de energía-momento es isotrópico y homogéneo. Las ecuaciones resultantes son: [7]
Estas ecuaciones son la base del modelo cosmológico estándar del Big Bang , incluido el modelo actual ΛCDM . [8] Debido a que el modelo FLRW asume homogeneidad, algunos relatos populares afirman erróneamente que el modelo del Big Bang no puede explicar la irregularidad observada del universo. En un modelo estrictamente FLRW, no hay cúmulos de galaxias, estrellas o personas, ya que estos son objetos mucho más densos que una parte típica del universo. No obstante, el modelo FLRW se utiliza como una primera aproximación para la evolución del universo abultado real porque es simple de calcular, y los modelos que calculan el abultamiento en el universo se agregan a los modelos FLRW como extensiones. La mayoría de los cosmólogos están de acuerdo en que el universo observable está bien aproximado por un modelo casi FLRW , es decir, un modelo que sigue la métrica FLRW aparte de las fluctuaciones de densidad primordial . A partir de 2003[actualizar], las implicaciones teóricas de las diversas extensiones del modelo FLRW parecen estar bien entendidas, y el objetivo es hacerlas consistentes con las observaciones de COBE y WMAP .
Si el espacio-tiempo está conectado de forma múltiple , entonces cada evento estará representado por más de una tupla de coordenadas. [ cita requerida ]
Interpretación
El par de ecuaciones dadas anteriormente es equivalente al siguiente par de ecuaciones
con , el índice de curvatura espacial, que sirve como constante de integración para la primera ecuación.
La primera ecuación se puede derivar también de consideraciones termodinámicas y es equivalente a la primera ley de la termodinámica , asumiendo que la expansión del universo es un proceso adiabático (que se asume implícitamente en la derivación de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).
La segunda ecuación establece que tanto la densidad de energía como la presión causan la tasa de expansión del universo. disminuir, es decir, ambos provocan una desaceleración en la expansión del universo. Esto es una consecuencia de la gravitación , con la presión jugando un papel similar al de la densidad de energía (o masa), de acuerdo con los principios de la relatividad general . La constante cosmológica , por otro lado, provoca una aceleración en la expansión del universo.
Constante cosmológica
El término constante cosmológica se puede omitir si hacemos los siguientes reemplazos
Por lo tanto, la constante cosmológica se puede interpretar como que surge de una forma de energía que tiene presión negativa, igual en magnitud a su densidad de energía (positiva):
Esta forma de energía, una generalización de la noción de constante cosmológica, se conoce como energía oscura .
De hecho, para obtener un término que provoque una aceleración de la expansión del universo, basta con tener un campo escalar que satisfaga
A este campo a veces se le llama quintaesencia .
Interpretación newtoniana
Esto se debe a McCrea y Milne, [9] aunque a veces se le atribuye incorrectamente a Friedmann. Las ecuaciones de Friedmann son equivalentes a este par de ecuaciones:
La primera ecuación dice que la disminución de la masa contenida en un cubo fijo (cuyo lado es momentáneamente a ) es la cantidad que sale por los lados debido a la expansión del universo más la masa equivalente al trabajo realizado por presión contra el material. siendo expulsado. Ésta es la conservación de la masa-energía ( primera ley de la termodinámica ) contenida en una parte del universo.
La segunda ecuación dice que la energía cinética (vista desde el origen) de una partícula de masa unitaria que se mueve con la expansión más su energía potencial gravitacional (negativa) (relativa a la masa contenida en la esfera de materia más cercana al origen) es igual a una constante relacionada con la curvatura del universo. En otras palabras, se conserva la energía (relativa al origen) de una partícula que se mueve conjuntamente en caída libre. La relatividad general simplemente agrega una conexión entre la curvatura espacial del universo y la energía de dicha partícula: la energía total positiva implica una curvatura negativa y la energía total negativa implica una curvatura positiva.
Se supone que el término constante cosmológica se trata como energía oscura y, por lo tanto, se fusiona con los términos de densidad y presión.
Durante la época de Planck , no se pueden descuidar los efectos cuánticos . Entonces pueden causar una desviación de las ecuaciones de Friedmann.
Nombre e historia
El matemático soviético Alexander Friedmann obtuvo por primera vez los principales resultados del modelo FLRW en 1922 y 1924. [10] [11] Aunque la prestigiosa revista de física Zeitschrift für Physik publicó su trabajo, pasó relativamente desapercibido para sus contemporáneos. Friedmann estaba en comunicación directa con Albert Einstein , quien, en nombre de Zeitschrift für Physik , actuó como árbitro científico del trabajo de Friedmann. Finalmente, Einstein reconoció la exactitud de los cálculos de Friedmann, pero no pudo apreciar el significado físico de las predicciones de Friedmann.
Friedmann murió en 1925. En 1927, Georges Lemaître , sacerdote belga, astrónomo y profesor periódico de física en la Universidad Católica de Lovaina , llegó de forma independiente a resultados similares a los de Friedmann y los publicó en los Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Anales de la Sociedad Científica de Bruselas). [12] [13] Frente a la evidencia observacional de la expansión del universo obtenida por Edwin Hubble a fines de la década de 1920, los resultados de Lemaître fueron notados en particular por Arthur Eddington , y en 1930-31 el artículo de Lemaître fue traducido al inglés y publicado en Monthly Notices of the Royal Astronomical Society .
Howard P. Robertson de los Estados Unidos y Arthur Geoffrey Walker del Reino Unido exploraron el problema más a fondo durante la década de 1930. [14] [15] [16] [17] En 1935, Robertson y Walker demostraron rigurosamente que la métrica FLRW es la única en un espacio-tiempo que es espacialmente homogénea e isotrópica (como se señaló anteriormente, este es un resultado geométrico y no está vinculado específicamente a las ecuaciones de la relatividad general, que siempre fueron asumidas por Friedmann y Lemaître).
Esta solución, a menudo llamada la métrica de Robertson-Walker porque demostraron sus propiedades genéricas, es diferente de los modelos dinámicos de "Friedmann-Lemaître" , que son soluciones específicas para a ( t ) que asumen que las únicas contribuciones a la tensión-energía son frías. materia ("polvo"), radiación y una constante cosmológica.
El radio de Einstein del universo
El radio del universo de Einstein es el radio de curvatura del espacio del universo de Einstein , un modelo estático abandonado hace mucho tiempo que se suponía que representaba nuestro universo en forma idealizada. Poniendo
en la ecuación de Friedmann, el radio de curvatura del espacio de este universo (radio de Einstein) es [ cita requerida ]
- ,
dónde es la velocidad de la luz, es la constante gravitacional newtoniana , yes la densidad del espacio de este universo. El valor numérico del radio de Einstein es del orden de 10 10 años luz .
Evidencia
Al combinar los datos de observación de algunos experimentos como WMAP y Planck con los resultados teóricos del teorema de Ehlers-Geren-Sachs y su generalización, [18] los astrofísicos ahora están de acuerdo en que el universo es casi homogéneo e isotrópico (cuando se promedia en una escala muy grande) y por lo tanto casi un espacio-tiempo FLRW.
Referencias
- ↑ Para una referencia temprana, vea Robertson (1935); Robertson asume conectividad múltiple en el caso de curvatura positiva y dice que "todavía somos libres de restaurar" la conectividad simple.
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Otras lecturas
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- Harrison, ER (1967), "Clasificación de modelos cosmológicos uniformes", Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society , 137 : 69–79, Bibcode : 1967MNRAS.137 ... 69H , doi : 10.1093 / mnras / 137.1.69
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