En la teoría de las variedades de Lorentz , los espaciotiempos esféricamente simétricos admiten una familia de esferas redondas anidadas . En tal espacio-tiempo, un tipo de carta de coordenadas particularmente importante es la carta de Schwarzschild , una especie de carta de coordenadas esféricas polares en un espacio-tiempo estático y esféricamente simétrico , que se adapta a estas esferas redondas anidadas. La característica definitoria de la carta de Schwarzschild es que la coordenada radial posee una interpretación geométrica natural en términos del área de superficie y la curvatura gaussiana.de cada esfera. Sin embargo, las distancias radiales y los ángulos no se representan con precisión.
Estos gráficos tienen muchas aplicaciones en las teorías métricas de la gravitación , como la relatividad general . Se utilizan con mayor frecuencia en espaciotiempos estáticos esféricamente simétricos. En el caso de la relatividad general , el teorema de Birkhoff establece que cada solución aislada esféricamente simétrica de vacío o electrovacío de la ecuación de campo de Einstein es estática, pero esto ciertamente no es cierto para los fluidos perfectos . La extensión de la región exterior de la solución de vacío de Schwarzschild dentro del horizonte de sucesos de un agujero negro esféricamente simétrico no es estática dentro del horizonte, y la familia de esferas anidadas (en forma de espacio) no se puede extender dentro del horizonte, por lo que el gráfico de Schwarzschild para este La solución se rompe necesariamente en el horizonte.
Definición
Especificar un tensor métrico es parte de la definición de cualquier variedad de Lorentz . La forma más sencilla de definir este tensor es definirlo en gráficos de coordenadas locales compatibles y verificar que el mismo tensor esté definido en las superposiciones de los dominios de los gráficos. En este artículo, solo intentaremos definir el tensor métrico en el dominio de un solo gráfico.
En un gráfico de Schwarzschild (en un espaciotiempo estático esféricamente simétrico), el elemento de línea toma la forma
Dónde es la coordenada esférica estándar y es la métrica estándar en la unidad de 2 esferas. Consulte Derivación de la solución de Schwarzschild para obtener una derivación más detallada de esta expresión.
Dependiendo del contexto, puede ser apropiado considerar un y b como funciones indeterminadas de la coordenada radial (por ejemplo, en la obtención de una estática exacta solución esféricamente simétrica de la ecuación de campo de Einstein ). Alternativamente, podemos conectar funciones específicas (posiblemente dependiendo de algunos parámetros) para obtener un gráfico de coordenadas de Schwarzschild en un espacio-tiempo Lorentziano específico.
Si resulta admitir un tensor esfuerzo-energía tal que el modelo resultante satisface la ecuación de campo de Einstein (digamos, para un fluido perfecto estático esféricamente simétrico que obedece a las condiciones de energía adecuadas y otras propiedades esperadas de un fluido perfecto razonable), entonces, con el tensor apropiado campos que representan cantidades físicas como la materia y las densidades de momento, tenemos una parte de un espacio-tiempo posiblemente mayor; una pieza que puede considerarse una solución local de la ecuación de campo de Einstein.
Matar campos vectoriales
Con respecto al gráfico de Schwarzschild, el álgebra de Lie de los campos vectoriales Killing se genera mediante el campo vectorial Killing irrotacional de tipo temporal.
y tres campos vectoriales de matar en forma de espacio
Aquí, diciendo eso es irrotacional significa que el tensor de vorticidad de la congruencia temporal correspondiente desaparece; por lo tanto, este campo de vector de Killing es ortogonal de hiperesuperficie . El hecho de que nuestro espacio-tiempo admita un campo vectorial de Killing irrotacional similar al tiempo es de hecho la característica definitoria de un espacio-tiempo estático . Una consecuencia inmediata es que las superficies de coordenadas de tiempo constante forman una familia de hiperslices espaciales (isométricas) . (Esto no es cierto, por ejemplo, en el gráfico de Boyer-Lindquist para la región exterior del vacío de Kerr , donde el vector de coordenadas similar al tiempo no es ortogonal a la hipersuperficie).
Tenga en cuenta que los dos últimos campos son rotaciones entre sí, bajo la transformación de coordenadas . El artículo sobre la eliminación de campos vectoriales proporciona una derivación detallada y una discusión de los tres campos espaciales.
Una familia de esferas anidadas estáticas
En el gráfico de Schwarzschild, las superficies aparecen como esferas redondas (cuando trazamos loci en forma esférica polar), y de su forma, vemos que la métrica de Schwarzschild restringida a cualquiera de estas superficies es positiva definida y dada por
Dónde es la métrica estándar de Riemann en la unidad de radio 2-esfera. Es decir, estas esferas de coordenadas anidadas representan de hecho esferas geométricas con
En particular, son esferas geométricas redondas . Además, las coordenadas angulares son exactamente las coordenadas angulares esféricas polares habituales: a veces se llama colatitude yse suele llamar longitud . Esta es esencialmente la característica geométrica definitoria del gráfico de Schwarzschild.
Puede ser útil agregar que los cuatro campos Killing dados anteriormente, considerados como campos vectoriales abstractos en nuestra variedad de Lorentz, dan la expresión más verdadera de ambas simetrías de un espacio-tiempo estático esféricamente simétrico, mientras que la forma trigonométrica particular que toman en nuestro gráfico es la expresión más auténtica del significado del término gráfico de Schwarzschild . En particular, los tres campos vectoriales Killing espaciales tienen exactamente la misma forma que los tres campos vectoriales Killing no traduccionales en un gráfico esférico simétrico en E 3 ; es decir, exhiben la noción de rotación euclidiana arbitraria sobre el origen o simetría esférica.
Sin embargo, tenga en cuenta que: en general, la coordenada radial de Schwarzschild no representa con precisión las distancias radiales , es decir, las distancias tomadas a lo largo de la congruencia geodésica espacial que surgen como las curvas integrales de. Más bien, para encontrar una noción adecuada de ' distancia espacial ' entre dos de nuestras esferas anidadas, deberíamos integrar a lo largo de algún rayo de coordenadas desde el origen:
De manera similar, podemos considerar cada esfera como el lugar de una nube esférica de observadores idealizados, que deben (en general) usar motores de cohetes para acelerar radialmente hacia afuera con el fin de mantener su posición. Estos son observadores estáticos y tienen líneas de forma de mundo., que por supuesto tienen la forma de líneas de coordenadas verticales en el gráfico de Schwarzschild.
Para calcular el intervalo de tiempo adecuado entre dos eventos en la línea mundial de uno de estos observadores, debemos integrar a lo largo de la línea de coordenadas apropiada:
Coordinar singularidades
Mirando hacia atrás en los rangos de coordenadas anteriores, observe que la singularidad de coordenadas en marca la ubicación del polo norte de una de nuestras esferas anidadas estáticas, mientrasmarca la ubicación del polo sur . Al igual que para una carta esférica polar ordinaria en E 3 , por razones topológicas no podemos obtener coordenadas continuas en toda la esfera; debemos elegir alguna longitud (un gran círculo) para actuar como el primer meridiano y corte esto del gráfico. El resultado es que cortamos un semiplano cerrado de cada hiperslice espacial incluyendo el eje y un semiplano que se extiende desde ese eje.
Cuando dijimos arriba que es un campo vectorial Killing, omitimos el calificador pedante pero importante en el que estamos pensando como una coordenada cíclica , y de hecho pensando que nuestros tres vectores de Matanza espaciales actúan sobre esferas redondas.
Posiblemente, por supuesto, o , en cuyo caso también debemos eliminar la región fuera de alguna bola, o dentro de alguna bola, del dominio de nuestro gráfico. Esto sucede siempre que fog explota en algún valor de la coordenada radial de Schwarzschild r.
Visualizando las hiperslices estáticas
Para comprender mejor el significado de la coordenada radial de Schwarzschild, puede ser útil incrustar una de las hiperslices espaciales (por supuesto, todos son isométricos entre sí) en un espacio euclidiano plano. Las personas a las que les resulte difícil visualizar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones se alegrarán de observar que podemos aprovechar la simetría esférica para suprimir una coordenada . Esto se puede lograr convenientemente configurando. Ahora tenemos una variedad de Riemann de dos dimensiones con un gráfico de coordenadas radiales local,
Para incrustar esta superficie (o en un anillo anular ) en E 3 , adoptamos un campo de marco en E 3 que
- se define en una superficie parametrizada, que heredará la métrica deseada del espacio de incrustación,
- está adaptado a nuestro gráfico radial,
- presenta una función indeterminada .
A saber, considere la superficie parametrizada
Los campos de vectores de coordenadas en esta superficie son
La métrica inducida heredada cuando restringimos la métrica euclidiana en E 3 a nuestra superficie parametrizada es
Para identificar esto con la métrica de nuestro hiperslice, evidentemente deberíamos elegir tal que
Para tomar un ejemplo un tanto tonto, podríamos tener .
Esto funciona para superficies en las que las distancias reales entre dos puntos separados radialmente son mayores que la diferencia entre sus coordenadas radiales. Si las distancias verdaderas son más pequeñas , deberíamos incrustar nuestra variedad de Riemann como una superficie espacial en E 1,2 en su lugar. Por ejemplo, podríamos tener. A veces, es posible que necesitemos dos o más incrustaciones locales de anillos anulares (para regiones de curvatura gaussiana positiva o negativa). En general, no deberíamos esperar obtener una incrustación global en ningún espacio plano (con el tensor de Riemann desaparecido).
El punto es que la característica definitoria de un gráfico de Schwarzschild en términos de la interpretación geométrica de la coordenada radial es justo lo que necesitamos para llevar a cabo (en principio) este tipo de incrustación esféricamente simétrica de las hiperslices espaciales.
Un Ansatz métrico
El elemento de línea dado anteriormente, con f , g consideradas como funciones indeterminadas de la coordenada radial de Schwarzschild r , a menudo se usa como un ansatz métrico para derivar soluciones estáticas esféricamente simétricas en relatividad general (u otras teorías métricas de la gravitación ).
A modo de ilustración, indicaremos cómo calcular la conexión y la curvatura utilizando el método de cálculo exterior de Cartan . Primero, leemos del elemento de línea un campo coframe ,
donde miramos son funciones suaves aún indeterminadas de . (El hecho de que nuestro espacio-tiempo admita un marco que tiene esta forma trigonométrica particular es otra expresión equivalente de la noción de un gráfico de Schwarzschild en una variedad de Lorentzian estática y esféricamente simétrica).
En segundo lugar, calculamos las derivadas exteriores de estas formas unicas de cobasis:
Comparando con la primera ecuación estructural de Cartan (o más bien su condición de integrabilidad),
adivinamos expresiones para las formas de conexión . (Los sombreros son solo un dispositivo de notación para recordarnos que los índices se refieren a nuestra cobasis one-formas, no a las coordenadas one-formas.)
Si recordamos qué pares de índices son simétricos (espacio-tiempo) y cuáles son antisimétricos (espacio-espacio) en , podemos confirmar que las seis formas de conexión son
(En este ejemplo, sólo cuatro de las seis no desaparecen). Podemos recopilar estas formas uno en una matriz de formas únicas, o incluso mejor, una forma única con valor SO (1,3). Tenga en cuenta que la matriz resultante de una forma no será del todo antisimétrica como para una forma única con valor SO (4); necesitamos utilizar en su lugar una noción de transposición que surge del adjunto de Lorentz .
En tercer lugar, calculamos las derivadas exteriores de las formas uno de la conexión y usamos la segunda ecuación estructural de Cartan
para calcular la curvatura dos formas. Cuarto, usando la fórmula
donde las barras de Bach indican que debemos sumar solo sobre los seis pares crecientes de índices ( i , j ), podemos leer los componentes linealmente independientes del tensor de Riemann con respecto a nuestro coframe y su campo de marco dual . Obtenemos:
En quinto lugar, podemos reducir los índices y organizar los componentes. en una matriz
donde E, L son simétricas (seis componentes linealmente independientes, en general) y B no tiene trazas (ocho componentes linealmente independientes, en general), lo que pensamos que representa un operador lineal en el espacio vectorial de seis dimensiones de dos formas (en cada evento). A partir de esto, podemos leer la descomposición de Bel con respecto al campo de vector unitario similar al tiempo. El tensor electrogravítico es
El tensor magnetogravítico se desvanece de manera idéntica, y el tensor topogravítico , a partir del cual (usando el hecho de que es irrotacional) podemos determinar el tensor de Riemann tridimensional de las hiperslices espaciales, es
Todo esto es válido para cualquier variedad de Lorentz, pero observamos que en la relatividad general, el tensor electrogravítico controla las tensiones de marea en objetos pequeños, según lo medido por los observadores correspondientes a nuestro marco, y el tensor magnetogravítico controla cualquier fuerza de giro-giro en objetos giratorios , según lo medido por los observadores correspondientes a nuestro marco.
El campo de doble marco de nuestro campo coframe es
El hecho de que el factor solo multiplica el primero de los tres campos de vectores espaciales ortonormales aquí significa que los gráficos de Schwarzschild no son espacialmente isotrópicos (excepto en el caso trivial de un espacio-tiempo localmente plano); más bien, los conos de luz aparecen (radialmente aplanados) o (radialmente alargados). Por supuesto, esta es solo otra forma de decir que los gráficos de Schwarzschild representan correctamente las distancias dentro de cada esfera redonda anidada, pero la coordenada radial no representa fielmente la distancia radial adecuada.
Algunas soluciones exactas que admiten gráficos de Schwarzschild
Algunos ejemplos de soluciones exactas que se pueden obtener de esta manera incluyen:
- la región exterior del vacío de Schwarzschild ,
- ídem, para el electrovacío Reissner-Nordström , que incluye el ejemplo anterior como caso especial,
- ídem, para el electrolambdavacuum Reissner – Nordström – de Sitter , que incluye el ejemplo anterior como un caso especial,
- la solución Janis-Newman-Winacour (que modela el exterior de un objeto esférico simétrico estático dotado de un campo escalar sin masa mínimamente acoplado),
- modelos estelares obtenidos al hacer coincidir una región interior que es una solución fluida perfecta esféricamente simétrica estática a través de un lugar esférico de presión de fuga a una región exterior, que es localmente isométrica a parte de la región de vacío de Schwarzschild.
Generalizaciones
Es natural considerar espaciotiempos no estáticos pero esféricamente simétricos, con un gráfico de Schwarzschild generalizado en el que la métrica toma la forma
Generalizando en otra dirección, podemos usar otros sistemas de coordenadas en nuestras dos esferas redondas, para obtener, por ejemplo, una carta estereográfica de Schwarzschild que a veces es útil:
Ver también
- espacio-tiempo estático ,
- espaciotiempo esféricamente simétrico ,
- fluidos perfectos esféricamente simétricos estáticos ,
- coordenadas isotrópicas , otro gráfico popular para espaciotiempo estático esféricamente simétrico,
- Coordenadas polares gaussianas , un gráfico alternativo menos común para espaciotiempo estático esféricamente simétrico,
- Coordenadas de Gullstrand-Painlevé , un gráfico simple que es válido dentro del horizonte de eventos de un agujero negro estático.
- campos de marco en relatividad general , para obtener más información sobre los campos de marco y los campos de coframe,
- Bel descomposición del tensor de Riemann,
- congruencia (relatividad general) , para más información sobre congruencias como sobre,
- Coordenadas de Kruskal-Szekeres , un gráfico que cubre toda la variedad de espacio-tiempo de la solución de Schwarzschild máximamente extendida y se comporta bien en todas partes fuera de la singularidad física,
- Coordenadas de Eddington-Finkelstein , un gráfico alternativo para espaciotiempos estáticos esféricamente simétricos,
Notas
- ^ es la notación para un campo vectorial que apunta en la dirección temporal. Está escrito para parecerse al operador diferencial con respecto a t, porque se pueden tomar derivadas en esta dirección. La notación = se utiliza frecuente y genéricamente para denotar un campo vectorial en el paquete tangente .