Una ecuación diferencial funcional es una ecuación diferencial con un argumento desviado. Es decir, una ecuación diferencial funcional es una ecuación que contiene alguna función y algunas de sus derivadas a diferentes valores de argumento. [1]
Las ecuaciones diferenciales funcionales encuentran uso en modelos matemáticos que suponen que un comportamiento o fenómeno específico depende del estado presente y pasado de un sistema. [2] En otras palabras, los eventos pasados influyen explícitamente en los resultados futuros. Por esta razón, las ecuaciones diferenciales funcionales se utilizan en muchas aplicaciones en lugar de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) , en las que el comportamiento futuro solo depende implícitamente del pasado.
Definición
A diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que contienen una función de una variable y sus derivadas evaluadas con la misma entrada, las ecuaciones diferenciales funcionales contienen una función y sus derivadas evaluadas con diferentes valores de entrada.
- Un ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria sería
- En comparación, una ecuación diferencial funcional sería
El tipo más simple de ecuación diferencial funcional, llamado ecuación diferencial funcional retardada o ecuación en diferencia diferencial retardada , tiene la forma [3]
Ejemplos de
- La ecuación diferencial funcional fundamental más simple es la ecuación diferencial de retardo lineal de primer orden [4] [ fuente no confiable? ] que viene dado por
dónde son constantes, es una función continua, y es un escalar. A continuación se muestra una tabla con una comparación de varias ecuaciones diferenciales ordinarias y funcionales.
Ecuación diferencial ordinaria | Ecuación diferencial funcional | |
---|---|---|
Ejemplos de | ||
Tipos de ecuaciones diferenciales funcionales
"Ecuación diferencial funcional" es el nombre general para varios tipos más específicos de ecuaciones diferenciales que se utilizan en numerosas aplicaciones. Hay ecuaciones diferenciales de retardo, ecuaciones integro-diferenciales, etc.
Ecuación de diferencia diferencial
Las ecuaciones en diferencias diferenciales son ecuaciones diferenciales funcionales en las que los valores de los argumentos son discretos. [1] La forma general para ecuaciones diferenciales funcionales de un número finito de argumentos discretos desviados es
dónde y
Las ecuaciones en diferencias diferenciales también se denominan ecuaciones diferenciales funcionales retardadas , neutras , avanzadas y mixtas . Esta clasificación depende de si la tasa de cambio del estado actual del sistema depende de valores pasados, valores futuros o ambos. [5]
Clasificaciones de ecuaciones en diferencias diferenciales [6] | |
---|---|
Retrasado | |
Neutral | |
Avanzado |
Ecuación diferencial de retardo
Las ecuaciones diferenciales funcionales de tipo retardado ocurren cuando para la ecuación dada arriba. En otras palabras, esta clase de ecuaciones diferenciales funcionales depende de los valores pasados y presentes de la función con retrasos.
Un ejemplo simple de una ecuación diferencial funcional retardada es
mientras que una forma más general para los argumentos discretos que se desvían puede escribirse como
Ecuaciones diferenciales neutrales
Las ecuaciones diferenciales funcionales de tipo neutro, o ecuaciones diferenciales neutrales ocurren cuando
Las ecuaciones diferenciales neutrales dependen de los valores pasados y presentes de la función, de manera similar a las ecuaciones diferenciales retardadas, excepto que también depende de derivadas con retardos. En otras palabras, las ecuaciones diferenciales retardadas no involucran la derivada de la función dada con retardos, mientras que las ecuaciones diferenciales neutrales sí lo hacen.
Ecuación integro-diferencial
Las ecuaciones integro-diferenciales de tipo Volterra son ecuaciones diferenciales funcionales con valores de argumentos continuos. [1] Las ecuaciones integro-diferenciales involucran tanto las integrales como las derivadas de alguna función con respecto a su argumento.
La ecuación integro-diferencial continua para ecuaciones diferenciales funcionales retardadas, , Se puede escribir como
Solicitud
Las ecuaciones diferenciales funcionales se han utilizado en modelos que determinan el comportamiento futuro de un determinado fenómeno determinado por el presente y el pasado. El comportamiento futuro de los fenómenos, descrito por las soluciones de las EDO, asume que el comportamiento es independiente del pasado. [2] Sin embargo, puede haber muchas situaciones que dependan de comportamientos pasados.
Los FDE son aplicables para modelos en múltiples campos, como medicina, mecánica, biología y economía. Los FDE se han utilizado en investigación para transferencia de calor, procesamiento de señales, evolución de una especie, flujo de tráfico y estudio de epidemias. [1] [4]
Crecimiento de la población con desfase temporal
- Una ecuación logística para el crecimiento de la población viene dada por
- donde ρ es la tasa de reproducción yk es la capacidad de carga . representa el tamaño de la población en el tiempo t , y es la tasa de reproducción dependiente de la densidad. [7]
- Si tuviéramos que aplicar ahora esto a un tiempo anterior , obtenemos
Modelo de mezcla
- Al exponerse a aplicaciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, muchos se encuentran con el modelo de mezcla de alguna solución química.
- Suponga que hay un recipiente que contiene litros de agua salada. El agua salada entra y sale del recipiente a la misma velocidad. de litros por segundo. En otras palabras, la velocidad de entrada de agua es igual a la velocidad de salida de la solución de agua salada. Dejar sea la cantidad en litros de agua salada en el recipiente y sea la concentración uniforme en gramos por litro de agua salada en el momento . Entonces, tenemos la ecuación diferencial [8]
- El problema con esta ecuación es que asume que cada gota de agua que ingresa al contenedor se mezcla instantáneamente con la solución. Esto se puede eliminar utilizando un FDE en lugar de un ODE.
- Dejar ser la concentración promedio en el momento , en lugar de uniforme. Entonces, supongamos que la solución sale del contenedor a la hora es igual a , la concentración promedio en algún momento anterior. Entonces, la ecuación es una ecuación diferencial de retardo de la forma [8]
Modelo depredador-presa de Volterra
- El modelo de depredador-presa de Lotka-Volterra se desarrolló originalmente para observar la población de tiburones y peces en el mar Adriático; sin embargo, este modelo se ha utilizado en muchos otros campos para diferentes usos, como describir reacciones químicas. El modelado de la población de presas depredadoras siempre se ha investigado ampliamente y, como resultado, ha habido muchas formas diferentes de la ecuación original.
- A continuación, se muestra un ejemplo, como lo muestran Xu, Wu (2013), [9] del modelo Lotka-Volterra con retardo de tiempo:
- dónde denota la densidad de población de presas en el tiempo t, y denotar la densidad de la población de depredadores en el momento y
- Tenga en cuenta que este modelo utiliza ecuaciones diferenciales parciales lineales .
Otros modelos que utilizan FDE
A continuación se ofrecen ejemplos de otros modelos que han utilizado FDE, a saber, RFDE:
- Movimiento controlado de un cuerpo rígido [1]
- Mociones periódicas [8]
- Circuito flip-flop como ECM [8]
- Modelo de epidemia de VIH
- Modelos matemáticos de la cantidad de azúcar en sangre [1]
- Ecuaciones de evolución de una sola especie [1]
- Propagación de una infección entre dos especies [8]
- Electrodinámica clásica [10]
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d e f g Kolmanovskii, V .; Myshkis, A. (1992). Teoría Aplicada de Ecuaciones Diferenciales Funcionales . Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1.
- ^ a b Hale, Jack K. (1971). Ecuaciones diferenciales funcionales . Estados Unidos: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90023-3.
- ^ Hale, Jack K .; Verduyn Lunel, Sjoerd M. (1993). Introducción a las ecuaciones diferenciales funcionales . Estados Unidos: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94076-6.
- ^ a b Falbo, Clement E. "Algunos métodos elementales para resolver ecuaciones diferenciales funcionales" (PDF) . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Guo, S .; Wu, J. (2013). Teoría de la bifurcación de ecuaciones diferenciales funcionales . Nueva York: Springer. págs. 41–60. ISBN 978-1-4614-6991-9.
- ^ Bellman, Richard; Cooke, Kenneth L. (1963). Ecuaciones en diferencias diferenciales . Nueva York, NY: Academic Press. págs. 42 –49. ISBN 978-0124109735.
- ^ Barnes, B .; Fulford, GR (2015). Modelado matemático con estudios de casos . Taylor & Francis Group LLC. págs. 75–77. ISBN 978-1-4822-4772-5.
- ^ a b c d e Schmitt, Klaus, ed. (1972). Ecuaciones diferenciales funcionales y de retardo y sus aplicaciones . Estados Unidos: Academic Press.
- ^ Xu, Changjin; Wu, Yusen (2013). "Dinámica en un modelo Predator-Prey de Lotka-Volterra con retrasos variables en el tiempo" . Análisis abstracto y aplicado . 2013 : 1–9. doi : 10.1155 / 2013/956703 .
- ^ García López, Álvaro (1 de septiembre de 2020). "Sobre un origen electrodinámico de fluctuaciones cuánticas". Dinámica no lineal . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . doi : 10.1007 / s11071-020-05928-5 .
Otras lecturas
- Herdman, Terry L .; Rankin III, Samuel M .; Stech, Harlan W. (1981). Ecuaciones diferenciales funcionales e integrales: Apuntes de clase. 67 . Estados Unidos: Marcel Dekker Inc, Matemáticas puras y aplicadas
- Ford, Neville J .; Lumb, Patricia M. (2009). "Ecuaciones diferenciales funcionales de tipo mixto: un enfoque numérico". Revista de Matemática Computacional y Aplicada. 229 (2): 471–479
- Limón, Greg; Kinf, John R. (2012). : Un modelo de ecuación diferencial funcional para la clasificación de células biológicas debido a la adhesión diferencial ". Modelos y métodos matemáticos en ciencias aplicadas. 12 (1): 93-126
- Da Silva, Carmen, Escalante, René (2011). "Aproximación de Tau segmentado para la ecuación diferencial funcional hacia adelante y hacia atrás". Computación y Matemáticas con Aplicaciones. 62 (12): 4582–4591
- Pravica, DW; Randriampiry, N; Spurr, MJ (2009). "Aplicaciones de una ecuación diferencial avanzada en el estudio de ondículas". Análisis Armónico Computacional y Aplicado. 27 (1): 2 (10)
- Breda, Dimitri; Maset, Stefano; Vermiglio Rossana (2015). Estabilidad de ecuaciones diferenciales de retardo lineal: un enfoque numérico con MATLAB. Saltador. ISBN 978-1-4939-2106-5