En matemáticas , las ecuaciones integrales de Volterra son un tipo especial de ecuaciones integrales . [1] Se dividen en dos grupos denominados primero y segundo tipo.
Una ecuación lineal de Volterra del primer tipo es
donde f es una función dada y x es una función desconocida por resolver. Una ecuación lineal de Volterra del segundo tipo es
En la teoría de operadores y en la teoría de Fredholm , los operadores correspondientes se denominan operadores de Volterra . Un método útil para resolver tales ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .
Una ecuación integral lineal de Volterra es una ecuación de convolución si
La función en la integral se llama kernel . Estas ecuaciones pueden analizarse y resolverse mediante técnicas de transformada de Laplace .
Las ecuaciones integrales de Volterra fueron introducidas por Vito Volterra y luego estudiadas por Traian Lalescu en su tesis de 1908, Sur les équations de Volterra , escrita bajo la dirección de Émile Picard . En 1911, Lalescu escribió el primer libro sobre ecuaciones integrales.
Las ecuaciones integrales de Volterra encuentran aplicación en la demografía , el estudio de materiales viscoelásticos y en la ciencia actuarial a través de la ecuación de renovación . [2]
Conversión de la ecuación de Volterra del primer tipo en el segundo tipo
Una ecuación lineal de Volterra del primer tipo siempre se puede reducir a una ecuación lineal de Volterra del segundo tipo, suponiendo que . Tomando la derivada de la ecuación de Volterra de primer tipo nos da:
Solución numérica mediante regla trapezoidal
Un método estándar para calcular la solución numérica de una ecuación lineal de Volterra del segundo tipo es la regla trapezoidal , que para subintervalos igualmente espaciados es dado por:
Aplicación: teoría de la ruina
Un área donde aparecen las ecuaciones integrales de Volterra es en la teoría de la ruina , el estudio del riesgo de insolvencia en la ciencia actuarial. El objetivo es cuantificar la probabilidad de ruina, dónde es el excedente inicial y es el tiempo de la ruina. En el modelo clásico de la teoría de la ruina, la posición neta de efectivo es una función del superávit inicial, los ingresos por primas obtenidos a la tasa y reclamaciones salientes :
Ver también
Referencias
- ^ Polyanin, Andrei D .; Manzhirov, Alexander V. (2008). Manual de ecuaciones integrales (2ª ed.). Boca Raton, FL: Chapman y Hall / CRC. ISBN 978-1584885078.
- ^ Brunner, Hermann (2017). Ecuaciones integrales de Volterra: Introducción a la teoría y sus aplicaciones . Monografías de Cambridge sobre Matemática Aplicada y Computacional. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-1107098725.
- ^ "Notas de la conferencia sobre teoría del riesgo" (PDF) . Facultad de Matemáticas, Estadística y Ciencias Actuariales . Universidad de Kent. 20 de febrero de 2010. págs. 17–22.
Otras lecturas
- Traian Lalescu, Introducción a la teoría de las ecuaciones integrales. Avec une préface de É. Picard , París : A. Hermann et Fils , 1912. VII + 152 págs.
- "Ecuación de Volterra" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra del primer tipo" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra de segundo tipo" . MathWorld .
- Ecuaciones integrales: soluciones exactas en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 19.2. Ecuaciones de Volterra" . Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.