En la geometría de Riemann , el teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que en cualquier variedad de Riemann (o variedad pseudo-Riemanniana ) hay una conexión métrica única libre de torsión , llamada conexión Levi-Civita de la métrica dada. Aquí una conexión métrica (o riemanniana ) es una conexión que conserva el tensor métrico . Más precisamente:
Teorema fundamental de la geometría de Riemann. Sea ( M , g ) una variedad riemanniana (o una variedad pseudo-riemanniana ). Luego hay una conexión única ∇ que satisface las siguientes condiciones:
- para cualquier campo vectorial X , Y , Z tenemos
- dónde denota la derivada de la función a lo largo de campo vectorial X .
- para cualquier campo vectorial X , Y ,
- donde [ X , Y ] denota el soporte de la mentira por vector campos X , Y .
La primera condición significa que el tensor métrico se conserva mediante transporte paralelo , mientras que la segunda condición expresa el hecho de que la torsión de ∇ es cero.
Una extensión del teorema fundamental establece que, dada una variedad pseudo-Riemanniana, existe una conexión única que conserva el tensor métrico con cualquier forma 2 con valor vectorial dado como su torsión. La diferencia entre una conexión arbitraria (con torsión) y la conexión Levi-Civita correspondiente es el tensor de contorsión .
La siguiente prueba técnica presenta una fórmula para los símbolos de Christoffel de la conexión en un sistema de coordenadas local. Para una métrica dada, este conjunto de ecuaciones puede volverse bastante complicado. Existen métodos más rápidos y simples para obtener los símbolos de Christoffel para una métrica dada, por ejemplo, usando la integral de acción y las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas.
Geodésicas definidas por una métrica o una conexión
Una métrica define las curvas que son geodésicas ; pero una conexión también define las geodésicas (ver también transporte paralelo ). Una conexión se dice que es igual a otro de dos formas diferentes: [1]
- obviamente si por cada par de campos de vectores
- Si y definir las mismas geodésicas y tener la misma torsión
Esto significa que dos conexiones diferentes pueden conducir a las mismas geodésicas mientras dan resultados diferentes para algunos campos vectoriales.
Debido a que una métrica también define las geodésicas de una variedad diferencial, para algunas métricas no solo hay una conexión que define las mismas geodésicas (se pueden encontrar algunos ejemplos de una conexión en que conducen a las líneas rectas como geodésicas pero que tienen alguna torsión en contra de la conexión trivial en , es decir, la derivada direccional habitual ) , y dada una métrica, la única conexión que define las mismas geodésicas (que deja la métrica sin cambios por transporte paralelo ) y que está libre de torsión es la conexión Levi-Civita (que se obtiene de la métrica por diferenciación).
Prueba del teorema
Sea m la dimensión de M y, en algún gráfico local, considere los campos de vectores de coordenadas estándar
Localmente, la entrada g ij del tensor métrico viene dada por
Para especificar la conexión es suficiente especificar, para todo i , j y k ,
También recordamos que, localmente, una conexión viene dada por m 3 funciones suaves
dónde
La propiedad libre de torsión significa
Por otro lado, la compatibilidad con la métrica de Riemann implica que
Para un fijo, i , j y k , la permutación da 3 ecuaciones con 6 incógnitas. El supuesto libre de torsión reduce el número de variables a 3. Resolver el sistema resultante de 3 ecuaciones lineales da soluciones únicas
Esta es la primera identidad de Christoffel .
Desde
donde usamos la convención de suma de Einstein. Es decir, un índice repetido en subíndice y superíndice implica que se suma sobre todos los valores. Al invertir el tensor métrico se obtiene la segunda identidad de Christoffel :
Una vez más, con la convención de suma de Einstein. La conexión única resultante se llama conexión Levi-Civita .
La fórmula de Koszul
Una prueba alternativa del teorema fundamental de la geometría riemanniana procede mostrando que una conexión métrica libre de torsión en una variedad Riemanniana M viene necesariamente dada por la fórmula de Koszul :
donde el campo vectorial actúa naturalmente sobre funciones suaves en la variedad de Riemann (de modo que ).
Suponiendo la existencia de una conexión que es simétrica, y compatible con la métrica , la suma se puede simplificar utilizando la propiedad de simetría. Esto da como resultado la fórmula de Koszul.
La expresión para por lo tanto determina de manera única . Por el contrario, la fórmula de Koszul se puede utilizar para definir y es rutina verificar que es una conexión afín, que es simétrica y compatible con la métrica g . (El lado derecho define un campo vectorial porque es C ∞ ( M ) -lineal en la variable.) [2]
Notas
- ^ Spivak 1999 , p. 249
- ↑ do Carmo 1992 , p. 55
Referencias
- do Carmo, Manfredo (1992), geometría riemanniana , Matemáticas: teoría y aplicaciones, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
- Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial, Volumen 2 (PDF) (3.a ed.), Publish-or-Perish Press