El tensor de torsión en geometría diferencial es la diferencia entre una conexión con y sin torsión en él. Parece comúnmente en el estudio de las conexiones de espín . Así, por ejemplo, un vielbein junto con una conexión de espín, cuando está sujeto a la condición de torsión que desaparece, da una descripción de la gravedad de Einstein. Para la supersimetría , la misma restricción, de torsión que desaparece, da (las ecuaciones de campo de) supergravedad de 11 dimensiones . [1] Es decir, el tensor de contorsión, junto con la conexión, se convierte en uno de los objetos dinámicos de la teoría, degradando la métrica a un rol secundario derivado.
La eliminación de la torsión en una conexión se denomina absorción de torsión y es uno de los pasos del método de equivalencia de Cartan para establecer la equivalencia de estructuras geométricas.
Definición en geometría métrica
En geometría métrica , el tensor de contorsión expresa la diferencia entre una conexión afín compatible con métrica con el símbolo de Christoffel y la exclusiva conexión Levi-Civita sin torsión para la misma métrica.
El tensor de contorsión se define en términos del tensor de torsión como (hasta un letrero, ver más abajo)
donde los índices suben y bajan con respecto a la métrica:
- .
La razón de la suma no obvia en la definición del tensor de contorsión se debe a la diferencia de suma-suma que refuerza la compatibilidad métrica. El tensor de torsión es antisimétrico en los dos primeros índices, mientras que el tensor de torsión en sí mismo es antisimétrico en sus dos últimos índices; esto se muestra a continuación.
La conexión afín compatible con métricas completas se puede escribir como:
Dónde la conexión Levi-Civita sin torsión:
Definición en geometría afín
En la geometría afín , uno no tiene una métrica ni una conexión métrica, por lo que no es libre de subir y bajar índices a pedido. Todavía se puede lograr un efecto similar haciendo uso de la forma de soldadura , lo que permite que el paquete se relacione con lo que está sucediendo en su espacio base. Este es un punto de vista explícitamente geométrico, con tensores que ahora son objetos geométricos en los haces verticales y horizontales de un haz de fibras , en lugar de ser objetos algebraicos indexados definidos solo en el espacio base. En este caso, se puede construir un tensor de contorsión, viviendo como una forma en el haz tangente.
Recuerde que la torsión de una conexión se puede expresar como
dónde es la forma de soldadura ( una forma tautológica ). El subíndice sólo sirve como recordatorio de que este tensor de torsión se obtuvo de la conexión.
Por analogía con la reducción del índice en el tensor de torsión en la sección anterior, se puede realizar una operación similar con la forma de soldadura y construir un tensor
Aquí es el producto escalar. Este tensor se puede expresar como [2]
La cantidad es la forma de torsión y es exactamente lo que se necesita para agregar a una conexión arbitraria para obtener la conexión Levi-Civita sin torsión. Es decir, dada una conexión de Ehresmann , hay otra conexión que está libre de torsión.
La desaparición de la torsión equivale entonces a tener
o
Esto puede verse como una ecuación de campo que relaciona la dinámica de la conexión con la del tensor de torsión.
Derivación
Una forma de derivar rápidamente una conexión afín compatible métrica es repetir la idea de diferencia suma-suma utilizada en la derivación de la conexión Levi-Civita, pero sin tomar la torsión como cero. A continuación se muestra una derivación.
Convención para la derivación (Elija definir los coeficientes de conexión de esta manera. La motivación es la de las formas de conexión uno en la teoría de gauge):
Comenzamos con la condición de compatibilidad métrica:
Ahora usamos la diferencia de suma-suma (cicla los índices con la condición):
Ahora usamos la siguiente definición del tensor de torsión (para un marco holonómico) para reescribir la conexión:
Tenga en cuenta que esta definición de torsión tiene el signo opuesto a la definición habitual cuando se utiliza la convención anterior para el orden de índice más bajo de los coeficientes de conexión, es decir, tiene el signo opuesto a la definición sin coordenadas en la siguiente sección sobre geometría. Rectificar esta inconsistencia (que parece ser común en la literatura) resultaría en un tensor de torsión con el signo opuesto.
Sustituye la definición del tensor de torsión en lo que tenemos:
Límpielo y combine términos semejantes
Los términos de torsión se combinan para crear un objeto que se transforma tensorialmente. Dado que estos términos se combinan de una manera compatible con la métrica, se les da un nombre, el tensor de contorsión, que determina la parte simétrica de sesgo de una conexión afín compatible con la métrica.
Lo definiremos aquí con la motivación de que coincida con los índices del lado izquierdo de la ecuación anterior.
La limpieza mediante el uso de la antisimetría del tensor de torsión produce lo que definiremos como el tensor de torsión:
Sustituyendo esto de nuevo a nuestra expresión, tenemos:
Ahora aísle los coeficientes de conexión y agrupe los términos de torsión:
Recuerde que el primer término con derivadas parciales es la expresión de conexión Levi-Civita utilizada a menudo por los relativistas.
Siguiendo su ejemplo, defina lo siguiente como la conexión Levi-Civita sin torsión:
Entonces tenemos que la conexión afín compatible con la métrica completa ahora se puede escribir como:
Relación con el teleparallelismo
En la teoría del teleparalelismo , uno encuentra una conexión, la conexión de Weitzenböck , que es plana (curvatura de Riemann que desaparece) pero que tiene una torsión que no desaparece. La planitud es exactamente lo que permite construir campos de tramas paralelas. Estas nociones pueden extenderse a las supervariedades . [3]
Ver también
Referencias
- ^ Urs Schreiber, " Gravedad 11d solo por la restricción de torsión " (2016)
- ^ David Bleecker, " Teoría del calibre y principios de variación " (1982) D. Reidel Publishing (ver teorema 6.2.5)
- ^ Bryce DeWitt , Supermanifolds , (1984) Cambridge University Press ISBN 0521 42377 5 (Consulte la subsección "paralelismo distante" de la sección 2.7).