La prueba ontológica de Gödel es un argumento formal del matemático Kurt Gödel (1906-1978) a favor de la existencia de Dios . El argumento se encuentra en una línea de desarrollo que se remonta a Anselmo de Canterbury (1033-1109). El argumento ontológico de San Anselmo , en su forma más sucinta, es el siguiente: "Dios, por definición, es aquello para lo cual no se puede concebir nada más grande. Dios existe en el entendimiento. Si Dios existe en el entendimiento, podríamos imaginarlo para ser más grande existiendo en la realidad . Por lo tanto, Dios debe existir ". Gottfried Leibniz dio una versión más elaborada.(1646-1716); esta es la versión que Gödel estudió e intentó aclarar con su argumento ontológico.
Gödel dejó un esbozo de catorce puntos de sus creencias filosóficas en sus artículos. [1] Los puntos relevantes para la prueba ontológica incluyen
- 4. Hay otros mundos y seres racionales de un tipo diferente y superior.
- 5. El mundo en el que vivimos no es el único en el que viviremos o habremos vivido.
- 13. Existe una filosofía y teología científicas (exactas), que se ocupan de conceptos de la más alta abstracción; y esto también es sumamente fructífero para la ciencia.
- 14. Las religiones son, en su mayor parte, malas, pero la religión no lo es.
Historia
La primera versión de la prueba ontológica en los artículos de Gödel está fechada "alrededor de 1941". No se sabe que Gödel le haya contado a nadie sobre su trabajo en la prueba hasta 1970, cuando pensó que se estaba muriendo. En febrero, permitió que Dana Scott copiara una versión de la prueba, que circuló de forma privada. En agosto de 1970, Gödel le dijo a Oskar Morgenstern que estaba "satisfecho" con la prueba, pero Morgenstern registró en la entrada de su diario del 29 de agosto de 1970 que Gödel no publicaría porque temía que otros pudieran pensar "que él realmente cree en Dios , mientras que él sólo está comprometido en una investigación lógica (es decir, en mostrar que tal prueba con supuestos clásicos (completitud, etc.) correspondientemente axiomatizados, es posible) ". [2] Gödel murió el 14 de enero de 1978. En sus artículos se encontró otra versión, ligeramente diferente a la de Scott. Finalmente se publicó, junto con la versión de Scott, en 1987. [3]
El diario de Morgenstern es una fuente importante y generalmente confiable para los últimos años de Gödel, pero la implicación de la entrada del diario de agosto de 1970 —que Gödel no creía en Dios— no es consistente con la otra evidencia. En cartas a su madre, que no asistía a la iglesia y había criado a Kurt ya su hermano como librepensadores , [4] Gödel argumentó extensamente a favor de la creencia en una vida después de la muerte. [5] Hizo lo mismo en una entrevista con un escéptico Hao Wang , quien dijo: "Expresé mis dudas mientras G hablaba [...] Gödel sonrió mientras respondía a mis preguntas, obviamente consciente de que sus respuestas no me convencían . " [6] Wang informa que la esposa de Gödel, Adele, dos días después de la muerte de Gödel, le dijo a Wang que "Gödel, aunque no iba a la iglesia, era religioso y leía la Biblia en la cama todos los domingos por la mañana". [7] En una respuesta no enviada por correo a un cuestionario, Gödel describió su religión como "luterana bautizada (pero no miembro de ninguna congregación religiosa). Mi creencia es teísta , no panteísta , siguiendo a Leibniz en lugar de a Spinoza ". [nota 1]
Esquema
La prueba usa lógica modal , que distingue entre verdades necesarias y verdades contingentes . En la semántica más común de la lógica modal, se consideran muchos " mundos posibles ". Una verdad es necesaria si es verdad en todos los mundos posibles. Por el contrario, si una afirmación es verdadera en nuestro mundo, pero es falsa en otro mundo, entonces es una verdad contingente . Una afirmación que es verdadera en algún mundo (no necesariamente el nuestro) se llama verdad posible .
Además, la prueba usa lógica de orden superior (modal) porque la definición de Dios emplea una cuantificación explícita sobre las propiedades. [8]
Primero, Gödel axiomatiza la noción de una "propiedad positiva": [nota 2] para cada propiedad φ , o φ o su negación ¬ φ debe ser positiva, pero no ambas (axioma 2). Si una propiedad positiva φ implica una propiedad ψ en cada mundo posible, entonces ψ también es positivo (axioma 1). [nota 3] Gödel argumenta entonces que cada propiedad positiva está "posiblemente ejemplificada", es decir, se aplica al menos a algún objeto en algún mundo (teorema 1). Definiendo un objeto como divino si tiene todas las propiedades positivas (definición 1), y requiriendo que esa propiedad sea positiva en sí misma (axioma 3), [nota 4] Gödel muestra que en algún mundo posible existe un objeto divino (teorema 2), llamado "Dios" en el siguiente. [nota 5] Gödel procede a demostrar que existe un objeto semejante a Dios en todos los mundos posibles.
Con este fin, define esencias : si x es un objeto en algún mundo, entonces se dice que una propiedad φ es una esencia de x si φ ( x ) es verdadera en ese mundo y si φ necesariamente implica todas las demás propiedades que x tiene en ese mundo (definición 2). Al exigir que las propiedades positivas sean positivas en todos los mundos posibles (axioma 4), Gödel puede demostrar que la semejanza a Dios es una esencia de un objeto semejante a Dios (teorema 3). Ahora, se dice que x existe necesariamente si, para cada esencia φ de x , hay un elemento y con propiedad φ en cada mundo posible (definición 3). El axioma 5 requiere la existencia necesaria para ser una propiedad positiva.
Por lo tanto, debe seguir la semejanza a Dios. Además, la semejanza a Dios es una esencia de Dios, ya que implica todas las propiedades positivas, y cualquier propiedad no positiva es la negación de alguna propiedad positiva, por lo que Dios no puede tener propiedades no positivas. Dado que la existencia necesaria también es una propiedad positiva (axioma 5), debe ser una propiedad de todo objeto semejante a Dios, ya que todo objeto semejante a Dios tiene todas las propiedades positivas (definición 1). Dado que cualquier objeto semejante a Dios es necesariamente existente, se sigue que cualquier objeto semejante a Dios en un mundo es un objeto semejante a Dios en todos los mundos, según la definición de existencia necesaria. Dada la existencia de un objeto semejante a Dios en un mundo, demostrado anteriormente, podemos concluir que hay un objeto semejante a Dios en cada mundo posible, como se requiere (teorema 4). Además del axioma 1-5 y la definición 1-3, algunos otros axiomas de la lógica modal [se necesita aclaración ] se usaron tácitamente en la demostración.
A partir de estas hipótesis, también es posible probar que hay un solo Dios en cada mundo por la ley de Leibniz, la identidad de los indiscernibles : dos o más objetos son idénticos (lo mismo) si tienen todas sus propiedades en común, y así, Solo habría un objeto en cada mundo que posea una propiedad. Sin embargo, G. Gödel no intentó hacerlo, ya que deliberadamente limitó su prueba a la cuestión de la existencia, en lugar de la unicidad.
Notación simbólica
Crítica
La mayor parte de las críticas a la demostración de Gödel se dirigen a sus axiomas: como con cualquier demostración en cualquier sistema lógico, si se duda de los axiomas de los que depende la demostración, entonces se pueden poner en duda las conclusiones. Es particularmente aplicable a la demostración de Gödel, porque se basa en cinco axiomas, algunos de los cuales son cuestionables. Una prueba no requiere que la conclusión sea correcta, sino que, al aceptar los axiomas, la conclusión se sigue lógicamente.
Muchos filósofos han cuestionado los axiomas. La primera capa de crítica es simplemente que no se presentan argumentos que den razones por las que los axiomas son verdaderos. Una segunda capa es que estos axiomas particulares conducen a conclusiones no deseadas. Esta línea de pensamiento fue argumentada por Jordan Howard Sobel , [9] mostrando que si los axiomas son aceptados, conducen a un "colapso modal" donde todo enunciado que es verdadero es necesariamente verdadero, es decir, los conjuntos de necesario, contingente y todas las verdades posibles coinciden (siempre que haya mundos accesibles ). [nota 6] Según Robert Koons , [10] : 9 Sobel sugirió en un documento de la conferencia de 2005 [ cita requerida ] que Gödel podría haber dado la bienvenida al colapso modal. [11]
Hay enmiendas sugeridas a la prueba, presentadas por C. Anthony Anderson , [12] pero que Anderson y Michael Gettings argumentan que son refutables. [13] La prueba de colapso modal de Sobel ha sido cuestionada por Koons, [10] [nota 7], pero Sobel ha dado una contradefensa. [ cita requerida ]
La demostración de Gödel también ha sido cuestionada por Graham Oppy , [14] preguntando si muchos otros casi dioses también serían "probados" por los axiomas de Gödel. Este contraargumento ha sido cuestionado por Gettings, [15] quien está de acuerdo en que los axiomas podrían cuestionarse, pero no está de acuerdo en que el contraejemplo particular de Oppy pueda mostrarse a partir de los axiomas de Gödel.
El erudito religioso P. Robert J. Spitzer aceptó la prueba de Gödel, calificándola de "una mejora con respecto al Argumento Ontológico Anselmiano (que no funciona)". [dieciséis]
Sin embargo, hay muchas más críticas, la mayoría centradas en la cuestión filosóficamente interesante de si estos axiomas deben ser rechazados para evitar conclusiones extrañas. La crítica más amplia es que incluso si no se puede demostrar que los axiomas sean falsos, eso no significa que sean verdaderos. La famosa observación de Hilbert sobre la intercambiabilidad de los nombres de los primitivos se aplica tanto a los axiomas ontológicos de Gödel ("positivos", "semejantes a dioses", "esencia") como a los de los axiomas geométricos de Hilbert ("punto", "línea", "avión"). Según André Fuhrmann (2005), queda por demostrar que la noción deslumbrante prescrita por las tradiciones y que a menudo se cree que es esencialmente misteriosa satisface los axiomas de Gödel. Esta no es una tarea matemática, sino meramente teológica. [17] : 364–366 Es esta tarea la que decide qué dios de religión ha demostrado existir.
Versiones verificadas por computadora
Christoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel-Paleo formalizaron la demostración de Gödel a un nivel que es adecuado para la demostración automatizada de teoremas o al menos la verificación por computadora a través de asistentes de prueba . [18] El esfuerzo llegó a los titulares de los periódicos alemanes. Según los autores de este esfuerzo, se inspiraron en el libro de Melvin Fitting . [19]
En 2014, verificaron por computadora la prueba de Gödel (en la versión anterior ). [20] : 97 [nota 8] También probaron que los axiomas de esta versión son consistentes, [nota 9] pero implican colapso modal, [nota 10] confirmando así el argumento de Sobel de 1987.
En el mismo artículo, sospechaban que la versión original de Gödel de los axiomas [nota 11] era inconsistente, ya que no pudieron probar su consistencia. [nota 12] En 2016, dieron una prueba informática de que esta versión implica, es decir, es inconsistente en toda lógica modal con una relación de accesibilidad reflexiva o simétrica . [22] : 940 Si , además, dieron un argumento de que esta versión es inconsistente en toda lógica, [nota 13] pero fallaron en duplicarla por probadores automáticos. [nota 14] Sin embargo, pudieron verificar la reformulación del argumento de Melvin Fitting y garantizar su consistencia. [23]
En literatura
Una variante humorística de la prueba ontológica de Gödel se menciona en la novela The Jolly Coroner de Quentin Canterel . [24] [ página necesaria ] La prueba también se menciona en la serie de televisión Hand of God . [ especificar ]
La novela de 2007 de Jeffrey Kegler The God Proof describe el redescubrimiento (ficticio) del cuaderno perdido de Gödel sobre la prueba ontológica. [25]
Ver también
- Existencia de dios
- Filosofía de la religión
- Teísmo
- Argumento ontológico
Notas
- ↑ Respuesta de Gödel a un cuestionario especial que le envió el sociólogo Burke Grandjean. Esta respuesta se cita directamente en Wang 1987, p. 18, e indirectamente en Wang 1996, p. 112. También se cita directamente en Dawson 1997, p. 6, que cita a Wang 1987. El cuestionario de Grandjean es quizás el elemento autobiográfico más extenso de los artículos de Gödel. Gödel lo llenó a lápiz y escribió una carta de presentación, pero nunca la devolvió. "Teísta" aparece en cursiva tanto en Wang 1987 como en Wang 1996. Es posible que esta cursiva sea de Wang y no de Gödel. La cita sigue a Wang 1987, con dos correcciones tomadas de Wang 1996. Wang 1987 dice "Bautista Luterano" donde Wang 1996 ha "bautizado Luterano". "Baptist Lutheran" no tiene sentido, especialmente en el contexto, y presumiblemente fue un error tipográfico o una mala traducción. Wang 1987 tiene "rel. Cong.", Que en Wang 1996 se amplía a "congregación religiosa".
- ^ Supone que es posible distinguirpropiedades positivas entre todas las propiedades. Gödel comenta que "Positivo significa positivo en elsentido estético moral (independientemente de la estructura accidental del mundo) ... También puede significar atribución puraen oposición a privación (o privación contenida)". (Gödel 1995), ver también manuscrito en (Gawlick 2012).
- ^ Como ejemplo profano, si la propiedad de ser verde es positiva, la de no ser rojo también lo es (según el axioma 1), por lo que la de ser rojo es negativa (según el axioma 2).
- ^ Si se considera el pedido parcial definido por si , entonces los Axiomas 1-3 se pueden resumir diciendo que las propiedades positivas forman un ultrafiltro en este orden. La definición 1 y el axioma 4 son necesarios para establecer la propiedad divina como elemento principal del ultrafiltro.
- ^ Al eliminar todos los operadores modales de los axiomas, definiciones, demostraciones y teoremas, se obtiene una versión modificada del teorema 2 que dice "∃ x G ( x )", es decir, "Existe un objeto que tiene todas las propiedades positivas, pero no negativas" . Para obtener este resultado, es necesario considerar nada más que los axiomas 1-3, la definición 1 y los teoremas 1-2.
- ^ Formalmente,para todo p implicapara todo p por prueba indirecta , yse mantiene para todo p siempre que haya mundos accesibles.
- ↑ Dado que la prueba de colapso modal de Sobel usa la abstracción lambda , pero la prueba de Gödel no, Koons sugiere prohibir esta operación de construcción de propiedad como la medida "más conservadora", antes de "rechazar o enmendar ... axiomas (como hace Anderson)".
- ^ Líneas "T3" en la figura 2 y elemento 3 en la sección 4 ("Principales conclusiones"). Su teorema "T3" corresponde a "Th.4" mostrado arriba .
- ^ Línea "CO" en la Fig.2 y elemento 1 en la sección 4 (p.97).
- ^ Línea "MC" en la figura 2 y elemento 6 en la sección 4 (p.97).
- ^ La versión que se muestra aquí es de Dana Scott. [21] Se diferencia del original de Gödel omitiendo el primer conjunto,, en Df.2.
- ^ Líneas "CO '" en la Fig.2 y el elemento 5 en la sección 4 (p.97).
- ^ Ítem 8 en la sección 4.1 "Argumento informal" (p.940).
- ^ Consulte la discusión detallada en la sección 4 "Argumento de inconsistencia intuitiva" (p.939-941).
Referencias
- ^ En: Wang, Hao. Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía. Un libro de Bradford, 1997. Impresión. p.316.
- ^ Citado en Gödel 1995, p. 388. El original alemán se cita en Dawson 1997, pág. 307. Los paréntesis anidados están en la entrada del diario original de Morgenstern, citado por Dawson.
- ^ El historial de publicación de la prueba en este párrafo es de Gödel 1995, p. 388
- ^ Dawson 1997, págs.6.
- ^ Dawson 1997, págs. 210-212.
- ^ Wang 1996, p. 317. La elipsis es de Wikipedia.
- ^ Wang 1996, p. 51.
- ^ Montaje, 2002, p. 139
- ^ Jordan Howard Sobel (noviembre de 1987). "Prueba ontológica de Gödel". En Judith Jarvis Thomson (ed.). Sobre ser y decir: ensayos para Richard Cartwright . Cambridge / MA y Londres, Inglaterra: MIT Press. págs. 241-261 . ISBN 978-0262200639.
- ^ a b Robert C. Koons (julio de 2005). Sobel sobre la prueba ontológica de Gödel (PDF) (artículo no publicado). Universidad de Texas en Austin. Archivado desde el original (PDF) el 02 de agosto de 2020.
- ^ Kurt Gödel (marzo de 1995). "Textos relacionados con la prueba ontológica (App. B)". En Solomon Feferman; John W. Dawson jr .; Warren Goldfarb; Charles Parsons; Robert M. Solovay (eds.). Ensayos y conferencias inéditos (PDF) . Obras completas. III (1ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 429–437. ISBN 0-19-507255-3.Aquí: p.435; probablemente, Sobel se refirió a la nota 4 de Gödel: "... Si se asume [como resultado de la esencia de ], ... pero esa es la forma inferior. Bastante,debería seguir primero de la existencia de Dios. " La nota podría indicar que Gödel era consciente de sus axiomas que implican colapso modal.
- ^ Curtis Anthony Anderson (julio de 1990). "Algunas enmiendas de la prueba ontológica de Gödel" (PDF) . Fe y Filosofía . 7 (3): 291-303. doi : 10.5840 / faithphil19907325 .
- ^ Curtis Anthony Anderson y Michael Gettings (agosto de 1996). "Revisión de la prueba ontológica de Gödel" . En Petr Hájek (ed.). Proc. Gödel '96: Fundamentos lógicos de las matemáticas, la informática y la física: el legado de Kurt Gödel . Notas de clase en lógica. 6 . Saltador. págs. 167-172.
- ^ Graham Oppy (octubre de 1996). "Argumentos ontológicos godeianos" . Análisis . 54 (4): 226–230. doi : 10.1093 / analys / 56.4.226 .- Versión más larga (2005)
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- ^ Knight, David (23 de octubre de 2013). "Los científicos utilizan la computadora para demostrar matemáticamente el teorema de Dios de Gödel" . Der Spiegel . Consultado el 28 de octubre de 2013 .
- ^ Christoph Benzmüller y Bruno Woltzenlogel-Paleo (2014). "Automatización de la prueba ontológica de Gödel de la existencia de Dios con probadores de teoremas automatizados de orden superior" (PDF) . Proc. Congreso Europeo de Inteligencia Artificial . Fronteras en Inteligencia Artificial y Aplicaciones. 263 . IOS Press. págs. 93–98.
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- ^ Quentin Canterel (2015). El forense alegre: una novela picaresca . Prensa Independiente Bellota.
- ^ Jeffrey Kegler (2007), La prueba de Dios, texto completo en línea.
Otras lecturas
- Frode Alfson Bjørdal , "Comprensión del argumento ontológico de Gödel", en T. Childers (ed.), The Logica Yearbook 1998 , Praga 1999, 214-217.
- Frode Alfson Bjørdal, "Todas las propiedades son divinas, o Dios existe", en Logic and Logical Philosophy, vol. 27, núm. 3, 2018, págs. 329–350.
- Bromand, Joachim. "Gödels ontologischer Beweis und andere modallogische Gottesbeweise", en J. Bromand und G. Kreis (Hg.), Gottesbeweise von Anselm bis Gödel , Berlín 2011, 381-491.
- John W. Dawson Jr (1997). Dilemas lógicos: la vida y obra de Kurt Godel . Wellesley, Mass: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-025-3.
- Melvin Fitting , "Tipos, cuadros y el Dios de Godel" Editorial: Dordrecht Kluwer Academic, 2002, ISBN 1-4020-0604-7 , ISBN 978-1-4020-0604-3
- Kurt Gödel (marzo de 1995). Solomon Feferman; John W. Dawson jr .; Warren Goldfarb; Los párrocos de Charles; Robert M. Solovay (eds.). Ensayos y conferencias inéditos (PDF) . Obras completas. III (1ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-507255-3. - Véase el capítulo "Prueba ontológica", págs. 403-404, y el Apéndice B "Textos relacionados con la prueba ontológica", págs. 429-437.
- Goldman, Randolph R. "Argumento ontológico de Gödel", PhD Diss., Universidad de California, Berkeley 2000.
- Hazen, AP "Sobre la prueba ontológica de Gödel", Australasian Journal of Philosophy, vol. 76, No 3, págs. 361–377, septiembre de 1998
- Pequeño, Christopher. "Reflexiones sobre el argumento ontológico de Gödel" (PDF) . Universidad de Waterloo . Archivado desde el original (PDF) el 22 de diciembre de 2009 . Consultado el 31 de agosto de 2010 .
- Wang, Hao (1987). Reflexiones sobre Kurt Gödel . Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN 0-262-23127-1.
- Wang, Hao (1996). Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía . Cambridge, Mass: MIT Press. ISBN 0-262-23189-1.
enlaces externos
- Oppy, Graham. "Argumentos ontológicos" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
- Bibliografía comentada de estudios sobre el argumento ontológico de Gödel
- Thomas Gawlick, Was sind und was sollen mathische Gottesbeweise? , Enero de 2012 - muestra el manuscrito de prueba original de Gödel en la p. 2-3
- Una prueba de coherencia divina para las matemáticas : un trabajo presentado por Harvey Friedman que muestra que si Dios existe (en el sentido de Gödel), entonces las matemáticas, tal como las formalizan los axiomas habituales de ZFC , son coherentes.