En geometría y combinatoria , una d -esfera simplicial (o combinatoria ) es un homeomorfo complejo simplicial de la esfera d- dimensional . Algunas esferas simpliciales surgen como los límites de politopos convexos , sin embargo, en dimensiones más altas, la mayoría de las esferas simpliciales no se pueden obtener de esta manera.
Un problema abierto importante en el campo fue la conjetura g , formulada por Peter McMullen , que pregunta sobre posibles números de caras de diferentes dimensiones de una esfera simplicial. En diciembre de 2018, Karim Adiprasito probó la conjetura g en el contexto más general de las esferas de homología racional. [1] [2]
De la fórmula de Euler se deduce que cualquier 2-esfera simple con n vértices tiene 3 n - 6 aristas y 2 n - 4 caras. El caso de n = 4 se realiza mediante el tetraedro. Al realizar repetidamente la subdivisión baricéntrica , es fácil construir una esfera simplicial para cualquier n ≥ 4. Además, Ernst Steinitz dio una caracterización de 1-skeleta (o gráficos de bordes) de politopos convexos en R 3, lo que implica que cualquier 2-esfera simplicial es un límite de un politopo convexo.
Branko Grünbaum construyó un ejemplo de una esfera simplicial no politopal (es decir, una esfera simplicial que no es el límite de un politopo). Gil Kalai demostró que, de hecho, "la mayoría" de las esferas simpliciales no son politopales. El ejemplo más pequeño es de dimensión d = 4 y tiene f 0 = 8 vértices.
El teorema del límite superior da límites superiores para los números f i de i- caras de cualquier d -esfera simplicial con f 0 = n vértices. Esta conjetura fue probada para esferas politopales por Peter McMullen en 1970 [3] y por Richard Stanley para esferas simpliciales generales en 1975.
La conjetura g , formulada por McMullen en 1970, pide una caracterización completa de los vectores f de las esferas d simpliciales . En otras palabras, ¿cuáles son las posibles secuencias de números de caras de cada dimensión para una d -esfera simplicial ? En el caso de las esferas politopales, la respuesta viene dada por el teorema g , probado en 1979 por Billera y Lee (existencia) y Stanley (necesidad). Se ha conjeturado que las mismas condiciones son necesarias para las esferas simpliciales generales. La conjetura fue probada por Karim Adiprasito en diciembre de 2018. [1] [2]