Teorema de Gauss-Lucas

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de Gauss-Lucas proporciona una relación geométrica entre las raíces de un polinomio P y las raíces de su derivada P′ . El conjunto de raíces de un polinomio real o complejo es un conjunto de puntos en el plano complejo . El teorema establece que todas las raíces de P′ se encuentran dentro del casco convexo de las raíces de P , que es el polígono convexo más pequeño que contiene las raíces de P . cuando pagtiene una sola raíz, entonces este casco convexo es un solo punto y cuando las raíces se encuentran en una línea , entonces el casco convexo es un segmento de esta línea. El teorema de Gauss-Lucas, llamado así por Carl Friedrich Gauss y Félix Lucas, es similar en espíritu al teorema de Rolle .

Si P es un polinomio (no constante) con coeficientes complejos, todos los ceros de P′ pertenecen a la envolvente convexa del conjunto de ceros de  P . [1]

Es fácil ver que si P ( x ) = ax 2 + bx + c es un polinomio de segundo grado , el cero de P′ ( x ) = 2 ax + b es el promedio de las raíces de P . En ese caso, el casco convexo es el segmento de línea con las dos raíces como puntos finales y está claro que el promedio de las raíces es el punto medio del segmento.

Para un polinomio complejo de tercer grado P ( función cúbica ) con tres ceros distintos, el teorema de Marden establece que los ceros de P′ son los focos de la inelipse de Steiner, que es la única elipse tangente a los puntos medios del triángulo formado por los ceros de P .

Para un polinomio complejo de cuarto grado P ( función cuartica ) con cuatro ceros distintos que forman un cuadrilátero cóncavo , uno de los ceros de P se encuentra dentro del casco convexo de los otros tres; los tres ceros de P′ se encuentran en dos de los tres triángulos formados por el cero interior de P y otros dos ceros de P . [2]

Además, si un polinomio de grado n de coeficientes reales tiene n ceros reales distintos vemos, usando el teorema de Rolle , que los ceros del polinomio derivado están en el intervalo que es la envolvente convexa del conjunto de raíces.

Ilustración del teorema de Gauss-Lucas, que muestra la evolución de las raíces de las derivadas de un polinomio.