En geometría , la inelipse de Steiner , [1] inelipse del punto medio o elipse del punto medio de un triángulo es la elipse única inscrita en el triángulo y tangente a los lados en sus puntos medios. Es un ejemplo de inelipse . En comparación, el círculo inscrito y la inelipse de Mandart de un triángulo son otros incónicos que son tangentes a los lados, pero no en los puntos medios a menos que el triángulo sea equilátero . El Steiner inellipse es atribuido por Dörrie [2] a Jakob Steiner, y Dan Kalman da una prueba de su singularidad. [3]
La inelipse de Steiner contrasta con la circumellipse de Steiner , también llamada simplemente elipse de Steiner, que es la elipse única que toca un triángulo dado en sus vértices y cuyo centro es el centroide del triángulo . [4]
Definición y propiedades
- Definición
Una elipse que es tangente a los lados de un triángulo en sus puntos medios se llama la inelipse de Steiner del triángulo.
Propiedades:
para un triángulo arbitrario con puntos medios de sus lados las siguientes afirmaciones son ciertas:
a) No existe exactamente un inellipse Steiner.
b) El centro de Steiner inellipse es el centroide del triangulo .
c1) El triángulo tiene el mismo centroide y la inelipse Steiner del triángulo es la elipse de Steiner del triángulo .
c2) La inelipse de Steiner de un triángulo es la Elipse de Steiner escalada con factor de escala 1/2 y el centroide como centro. Por tanto, ambas elipses tienen la misma excentricidad , son similares .
d) El área de Steiner inellipse es-veces el área del triángulo.
e) La inelipse de Steiner tiene el área más grande de todas las inelipsis del triángulo. [5] : p.146 [6] : Corolario 4.2
- Prueba
Las pruebas de las propiedades a), b), c) se basan en las siguientes propiedades de un mapeo afín: 1) cualquier triángulo puede considerarse como una imagen afín de un triángulo equilátero. 2) Los puntos medios de los lados se asignan a los puntos medios y los centroides a los centroides. El centro de una elipse se asigna al centro de su imagen.
De ahí que sea suficiente para demostrar las propiedades a), b), c) para un triángulo equilátero:
a) Para cualquier triángulo equilátero existe un círculo . Toca los lados en sus puntos medios. No hay otra sección cónica (no degenerada) con las mismas propiedades, porque una sección cónica está determinada por 5 puntos / tangentes.
b) Por un simple cálculo.
c) La circunferencia se mapea mediante una escala, con factor 1/2 y el centroide como centro, sobre la circunferencia. La excentricidad es invariante.
d) La proporción de áreas es invariante para las transformaciones afines. Entonces, la razón se puede calcular para el triángulo equilátero.
e) Ver Inellipse .
Representación paramétrica y semiejes
Representación paramétrica:
- Porque un Steiner inelipse de un triángulo es una elipse de Steiner escalada (factor 1/2, el centro es centroide) se obtiene una representación paramétrica derivada de la representación trigonométrica de la elipse de Steiner :
- Los 4 vértices de la Steiner inellipse son
- dónde es la solución de
- con
Semi-ejes:
- Con las abreviaturas
- se obtiene por los semi-ejes :
- La excentricidad lineal de la Steiner inellipse es
Ecuación trilineal
La ecuación de la inelipse de Steiner en coordenadas trilineales para un triángulo con longitudes de lado a, b, c (con estos parámetros con un significado diferente al anterior) es [1]
donde x es un arbitrarias veces constante positiva la distancia de un punto desde el lado de longitud de una , y de manera similar para b y c con la misma constante multiplicativa.
Otras propiedades
Las longitudes de los ejes semi-mayor y semi-menor para un triángulo con lados a, b, c son [1]
dónde
Según el teorema de Marden , [3] si los tres vértices del triángulo son los ceros complejos de un polinomio cúbico , entonces los focos de la inelipse de Steiner son los ceros de la derivada del polinomio.
El eje mayor de la inelipse de Steiner es la línea de mejor ajuste ortogonal para los vértices. [6] : Corolario 2.4
Denote como G , F + y F - respectivamente el centroide y el primer y segundo puntos de Fermat de un triángulo. El eje principal de la inelipse de Steiner del triángulo es la bisectriz interna de ∠ F + GF - . Las longitudes de los ejes son | GF - | ± | GF + |: es decir, la suma y la diferencia de las distancias de los puntos de Fermat al centroide. [7] : Thm. 1
Los ejes de la inelipse de Steiner de un triángulo son tangentes a su parábola de Kiepert, la parábola única que es tangente a los lados del triángulo y tiene la línea de Euler como su directriz . [7] : Thm. 3
Los focos de la inelipse de Steiner de un triángulo son las intersecciones del eje mayor de la inelipse y el círculo con centro en el eje menor y atravesando los puntos de Fermat. [7] : Thm. 6
Como con cualquier elipse inscrita en un triángulo ABC , dejando que los focos sean P y Q tenemos [8]
Generalización
La inelipse de Steiner de un triángulo se puede generalizar en n -gones: algunos n -gones tienen una elipse interior que es tangente a cada lado en el punto medio del lado. El teorema de Marden todavía se aplica: los focos de la inelipse de Steiner son ceros de la derivada del polinomio cuyos ceros son los vértices del n -gon. [9]
Referencias
- ^ a b c Weisstein, E. "Steiner Inellipse" - De MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html .
- ^ H. Dörrie, 100 grandes problemas de matemáticas elementales, su historia y solución (traducción de D. Antin), Dover, Nueva York, 1965, problema 98.
- ^ a b Kalman, Dan (2008), "Una prueba elemental del teorema de Marden" (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475 , MR 2398412 , archivado desde el original (PDF) en 2012 -08-26.
- ^ Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse" . MathWorld .
- ^ Chakerian, GD (1979), "Una visión distorsionada de la geometría", en Honsberger, Ross (ed.), Ciruelas matemáticas , The Dolciani Mathematical Expositions, 4 , Washington, DC: Asociación Matemática de América, págs. 135-136, 145 –146.
- ^ a b Minda, D .; Phelps, S. (2008), "Triángulos, elipses y polinomios cúbicos" (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (8): 679–689, MR 2456092.
- ^ a b c Scimemi, Benedetto, "Relaciones simples con respecto a la Inellipse de Steiner de un triángulo", Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.
- ↑ Allaire, Patricia R .; Zhou, Junmin; y Yao, Haishen, "Proving a the 19th century elipse identity", Mathematical Gazette 96, marzo de 2012, 161-165.
- ^ Parroquia, James L., "Sobre la derivada de un polinomio de vértice", Forum Geometricorum 6, 2006, págs. 285-288: Proposición 5.