La integral gaussiana , también conocida como integral de Euler-Poisson , es la integral de la función gaussiana sobre toda la línea real. Nombrada en honor al matemático alemán Carl Friedrich Gauss , la integral es
Una gráfica de
y el área entre la función y el
-eje, que es igual a
.
Abraham de Moivre descubrió originalmente este tipo de integral en 1733, mientras que Gauss publicó la integral precisa en 1809. [1] La integral tiene una amplia gama de aplicaciones. Por ejemplo, con un ligero cambio de variables se utiliza para calcular la constante de normalización de la distribución normal . La misma integral con límites finitos está estrechamente relacionada tanto con la función de error como con la función de distribución acumulada de la distribución normal . En física, este tipo de integral aparece con frecuencia, por ejemplo, en mecánica cuántica , para encontrar la densidad de probabilidad del estado fundamental del oscilador armónico. Esta integral también se usa en la formulación de integral de trayectoria, para encontrar el propagador del oscilador armónico, y en mecánica estadística , para encontrar su función de partición .
Aunque no existe una función elemental para la función de error, como puede probarse con el algoritmo de Risch , [2] la integral gaussiana se puede resolver analíticamente mediante los métodos de cálculo multivariable . Es decir, no existe una integral elemental indefinida para
pero la integral definida
puede ser evaluado. La integral definida de una función gaussiana arbitraria es
Por coordenadas polares
Una forma estándar de calcular la integral gaussiana, cuya idea se remonta a Poisson, [3] es hacer uso de la propiedad de que:
Considere la función en el avión y calcular su integral de dos formas:
- por un lado, por doble integración en el sistema de coordenadas cartesianas , su integral es un cuadrado:
- Por otro lado, por integración de capa (un caso de integración doble en coordenadas polares ), su integral se calcula como
Al comparar estos dos cálculos se obtiene la integral, aunque hay que tener cuidado con las integrales impropias involucradas.
donde el factor de r es el determinante jacobiano que aparece debido a la transformación a coordenadas polares ( r dr dθ es la medida estándar en el plano, expresada en coordenadas polares Wikilibros: Cálculo / Integración polar # Generalización ), y la sustitución implica tomar s = - r 2 , entonces ds = −2 r dr .
Combinando estos rendimientos
entonces
Prueba completa
Para justificar las integrales dobles impropias e igualar las dos expresiones, comenzamos con una función de aproximación:
Si la integral
fueran absolutamente convergentes , tendríamos que su valor principal de Cauchy , es decir, el límite
coincidiría con
Para ver que este es el caso, considere que
para que podamos calcular
simplemente tomando el límite
Tomando el cuadrado de rendimientos
Usando el teorema de Fubini , la integral doble anterior se puede ver como una integral de área
apoderado de un cuadrado con vértices {(- un , una ), ( un , una ), ( una , - una ), (- una , - una )} en la xy - plano .
Dado que la función exponencial es mayor que 0 para todos los números reales, se deduce que la integral tomada sobre el círculo del cuadrado debe ser menor que, y de manera similar, la integral tomada sobre el círculo circunferencial del cuadrado debe ser mayor que. Las integrales sobre los dos discos se pueden calcular fácilmente cambiando de coordenadas cartesianas a coordenadas polares :
(Consulte las coordenadas polares de las coordenadas cartesianas para obtener ayuda con la transformación polar).
Integrando,
Según el teorema de compresión , esto da la integral gaussiana
Por coordenadas cartesianas
Una técnica diferente, que se remonta a Laplace (1812), [3] es la siguiente. Dejar
Dado que los límites de s cuando y → ± ∞ dependen del signo de x , simplifica el cálculo para usar el hecho de que e - x 2 es una función par y, por lo tanto, la integral de todos los números reales es solo el doble de la integral de cero a infinito. Es decir,
Por lo tanto, en el intervalo de integración, x ≥ 0, y las variables y y s tienen los mismos límites. Esto produce:
Por lo tanto, , como se esperaba.
La integral de una función gaussiana
La integral de una función gaussiana arbitraria es
Una forma alternativa es
Este formulario es útil para calcular las expectativas de algunas distribuciones de probabilidad continua relacionadas con la distribución normal, como la distribución logarítmica normal , por ejemplo.
generalización funcional y n- dimensional
Suponga que A es una matriz de precisión n × n definida positiva simétrica (por lo tanto invertible) , que es la matriz inversa de la matriz de covarianza . Luego,
donde se entiende que la integral está por encima de R n . Este hecho se aplica en el estudio de la distribución normal multivariante .
También,
donde σ es una permutación de {1, ..., 2 N } y el factor adicional en el lado derecho es la suma de todos los pares combinatorios de {1, ..., 2 N } de N copias de A - 1 .
Alternativamente, [4]
para alguna función analítica f , siempre que satisfaga algunos límites apropiados en su crecimiento y algunos otros criterios técnicos. (Funciona para algunas funciones y falla para otras. Los polinomios están bien). El operador exponencial sobre un diferencial se entiende como una serie de potencias .
Si bien las integrales funcionales no tienen una definición rigurosa (o incluso una computacional no rigurosa en la mayoría de los casos), podemos definir una integral funcional gaussiana en analogía con el caso de dimensión finita. [ cita requerida ] Sin embargo, todavía existe el problema de quees infinito y además, el determinante funcional también sería infinito en general. Esto se puede solucionar si solo consideramos las proporciones:
En la notación de DeWitt , la ecuación parece idéntica al caso de dimensión finita.
n -dimensional con término lineal
Si A es nuevamente una matriz simétrica definida positiva, entonces (asumiendo que todos son vectores columna)
Integrales de forma similar
dónde es un número entero positivo y denota el factorial doble .
Una forma fácil de derivarlos es diferenciando bajo el signo integral .
También se podría integrar por partes y encontrar una relación de recurrencia para resolver esto.
Polinomios de orden superior
La aplicación de un cambio lineal de base muestra que la integral de la exponencial de un polinomio homogéneo en n variables puede depender solo de SL ( n ) -invariantes del polinomio. Uno de esos invariantes es el discriminante , cuyos ceros marcan las singularidades de la integral. Sin embargo, la integral también puede depender de otros invariantes. [5]
Los exponenciales de otros polinomios pares se pueden resolver numéricamente usando series. Estos pueden interpretarse como cálculos formales cuando no hay convergencia. Por ejemplo, la solución a la integral de la exponencial de un polinomio cuártico es [ cita requerida ]
El requisito n + p = 0 mod 2 se debe a que la integral de −∞ a 0 aporta un factor de (−1) n + p / 2 a cada término, mientras que la integral de 0 a + ∞ aporta un factor de 1/2 a cada término. Estas integrales aparecen en temas como la teoría cuántica de campos .