En cálculo , el teorema del apretón , también conocido como teorema del pellizco , el teorema del sándwich , la regla del sándwich , el teorema de la policía , el teorema entre ya veces el lema del apretón , es un teorema sobre el límite de una función . En Italia, el teorema también se conoce como teorema de carabinieri .
Ilustración del teorema de la compresión
Cuando una secuencia se encuentra entre otras dos secuencias convergentes con el mismo límite, también converge a este límite.
El teorema de compresión se utiliza en cálculo y análisis matemático . Por lo general, se utiliza para confirmar el límite de una función mediante la comparación con otras dos funciones cuyos límites se conocen o se calculan fácilmente. Fue utilizado por primera vez geométricamente por los matemáticos Arquímedes y Eudoxo en un esfuerzo por calcular π , y fue formulado en términos modernos por Carl Friedrich Gauss .
En muchos idiomas (por ejemplo, francés, alemán, italiano, húngaro y ruso), el teorema del apretón también se conoce como teorema de los dos policías (y un borracho) , o alguna variación del mismo. [ cita requerida ] La historia es que si dos policías están escoltando a un prisionero borracho entre ellos, y ambos oficiales van a una celda, entonces (sin importar el camino tomado, y el hecho de que el prisionero puede estar tambaleándose entre los policías) el El prisionero también debe terminar en la celda.
DeclaraciónEl teorema de la compresión se establece formalmente de la siguiente manera. [1]
Sea I un intervalo que tiene el punto a como punto límite. Deje g , f , y h sean funciones definidas en I , excepto posiblemente en un mismo. Supongamos que para cada x en I no igual a a , tenemos
y también supongamos que
Luego
- Las funciones y se dice que son los límites inferior y superior (respectivamente) de.
- Aquí, no es necesario que se acueste en el interior de. De hecho, si es un punto final de , entonces los límites anteriores son límites a la izquierda o a la derecha.
- Una declaración similar es válida para intervalos infinitos: por ejemplo, si , entonces la conclusión es válida, tomando los límites como .
Este teorema también es válido para sucesiones. Dejar ser dos secuencias que convergen a , y una secuencia. Si tenemos , luego también converge a .
Prueba
De acuerdo con las hipótesis anteriores tenemos, tomando el límite inferior y superior:
así que todas las desigualdades son de hecho iguales, y la tesis sigue inmediatamente.
Una prueba directa, utilizando el -definición de límite, sería demostrar que para todos los existe un real tal que para todos con , tenemos . Simbólicamente,
Como
significa que
y
significa que
entonces nosotros tenemos
Podemos elegir . Entonces sí, combinando (1) y (2), tenemos
- ,
que completa la prueba.
La prueba de sucesiones es muy similar, usando el -definición de un límite de una secuencia.
Declaración de serieTambién existe el teorema de compresión para series, que se puede establecer de la siguiente manera: [ cita requerida ]
Dejar ser dos series convergentes. Si tal que luego también converge.
Prueba
Dejar ser dos series convergentes. Por tanto, las secuenciasson Cauchy. Es decir, por fijo,
tal que (1)
y de manera similar tal que (2).
Lo sabemos tal que . Por eso,, tenemos combinando (1) y (2):
.
Por lo tanto es una secuencia de Cauchy. Entonces converge.
Ejemplos dePrimer ejemplo
x 2 sin (1 /
x ) se comprime en el límite cuando x va a 0
El límite
no se puede determinar a través de la ley límite
porque
no existe.
Sin embargo, por la definición de la función seno ,
Resulta que
Desde , por el teorema de la compresión, también debe ser 0.
Segundo ejemplo
Comparación de áreas:
Probablemente los ejemplos más conocidos de encontrar un límite apretando son las pruebas de las igualdades
El primer límite se sigue, mediante el teorema de la compresión, del hecho de que
- [2]
para x lo suficientemente cerca de 0. La exactitud de lo cual para x positivo puede verse mediante un razonamiento geométrico simple (ver dibujo) que también puede extenderse a x negativo. El segundo límite se deriva del teorema de compresión y del hecho de que
para x lo suficientemente cerca de 0. Esto se puede derivar reemplazando en el hecho anterior por y elevando al cuadrado la desigualdad resultante.
Estos dos límites se utilizan para demostrar el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno. Ese hecho se basa en otras pruebas de derivadas de funciones trigonométricas.
Tercer ejemplo
Es posible demostrar que
apretando, como sigue.
En la ilustración de la derecha, el área del menor de los dos sectores sombreados del círculo es
ya que el radio es sec θ y el arco en el círculo unitario tiene una longitud Δ θ . De manera similar, el área del mayor de los dos sectores sombreados es
Lo que se aprieta entre ellos es el triángulo cuya base es el segmento vertical cuyos extremos son los dos puntos. La longitud de la base del triángulo es tan ( θ + Δ θ ) - tan ( θ ), y la altura es 1. Por lo tanto, el área del triángulo es
De las desigualdades
deducimos que
siempre que Δ θ > 0, y las desigualdades se inviertan si Δ θ <0. Dado que la primera y la tercera expresiones se acercan a sec 2 θ cuando Δ θ → 0, y la expresión del medio se acerca a ( d / dθ ) tan θ , el resultado deseado sigue .
Cuarto ejemplo
El teorema de compresión todavía se puede usar en cálculo multivariable, pero las funciones inferior (y superior) deben estar por debajo (y por encima) de la función objetivo no solo a lo largo de una ruta, sino alrededor de todo el vecindario del punto de interés y solo funciona si la función realmente tiene un límite allí. Por lo tanto, se puede usar para probar que una función tiene un límite en un punto, pero nunca se puede usar para probar que una función no tiene un límite en un punto. [3]
no se puede encontrar tomando cualquier número de límites a lo largo de los caminos que pasan por el punto, pero como
por lo tanto, según el teorema de la compresión,
Referenciasenlaces externos