En matemáticas , se dice que una serie infinita de números converge absolutamente (o que es absolutamente convergente ) si la suma de los valores absolutos de los sumandos es finita. Más precisamente, una serie real o complejase dice que converge absolutamente si por un número real . De manera similar, una integral impropia de una función ,, se dice que converge absolutamente si la integral del valor absoluto del integrando es finita, es decir, si
La convergencia absoluta es importante para el estudio de series infinitas porque su definición es lo suficientemente fuerte como para tener propiedades de sumas finitas que no todas las series convergentes poseen, pero es lo suficientemente amplia como para ocurrir comúnmente. (Una serie convergente que no es absolutamente convergente se llama condicionalmente convergente ). Las series absolutamente convergentes se comportan "bien". Por ejemplo, los reordenamientos no cambian el valor de la suma. Esto no es cierto para las series condicionalmente convergentes: la serie armónica alterna converge a , mientras que su reordenamiento (en el que el patrón de repetición de signos son dos términos positivos seguidos de un término negativo) converge a .
Fondo
Se puede estudiar la convergencia de series cuyos términos a n son elementos de un grupo topológico abeliano arbitrario . La noción de convergencia absoluta requiere más estructura, es decir, una norma , que es una función positiva de valor real.en un grupo abeliano G (escrito de forma aditiva , con elemento de identidad 0) tal que:
- La norma del elemento identidad de G es cero:
- Por cada x en G , implica
- Por cada x en G ,
- Para cada x , y en G ,
En este caso, la función induce la estructura de un espacio métrico (un tipo de topología ) en G . Por lo tanto, podemos considerar series valoradas en G y definir tal serie como absolutamente convergente si
En particular, estas declaraciones se aplican utilizando la norma | x | ( valor absoluto ) en el espacio de números reales o números complejos.
En espacios vectoriales topológicos
Si X es un espacio vectorial topológico (TVS) yes una familia (posiblemente incontable ) en X, entonces esta familia es absolutamente sumable si [1]
- es sumable en X (es decir, si el límitede la red converge en X , dondees el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de A dirigido por inclusión y ), y
- por cada seminorma continuo p en X , la familia es sumable en .
Si X es un espacio normal y sies una familia absolutamente sumable en X , entonces necesariamente todo menos una colección contable deson 0.
Las familias absolutamente sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares .
Relación con la convergencia
Si G es completo con respecto a la métrica d , entonces toda serie absolutamente convergente es convergente. La prueba es la misma que para las series de valores complejos: use la completitud para derivar el criterio de Cauchy para la convergencia (una serie es convergente si y solo si sus colas pueden hacerse arbitrariamente pequeñas en la norma) y aplique la desigualdad del triángulo.
En particular, para series con valores en cualquier espacio de Banach , la convergencia absoluta implica convergencia. Lo contrario también es cierto: si la convergencia absoluta implica la convergencia en un espacio normado, entonces el espacio es un espacio de Banach.
Si una serie es convergente pero no absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente . Un ejemplo de una serie condicionalmente convergente es la serie armónica alterna . Muchas pruebas estándar de divergencia y convergencia, entre las que se incluyen la prueba de razón y la prueba de raíz , demuestran una convergencia absoluta. Esto se debe a que una serie de potencias es absolutamente convergente en el interior de su disco de convergencia.
Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente de números complejos es convergente
Suponer que es convergente. Entonces, de manera equivalente, es convergente, lo que implica que y convergen por comparación de términos de términos no negativos. Basta mostrar que la convergencia de estas series implica la convergencia de y , pues entonces, la convergencia de seguiría, por la definición de la convergencia de series de valores complejos.
La discusión anterior muestra que solo necesitamos probar que la convergencia de implica la convergencia de .
Dejar ser convergente. Desde, tenemos
Desde es convergente, es una secuencia monótona acotada de sumas parciales, y también debe converger. Señalando que es la diferencia de la serie convergente, concluimos que también es una serie convergente, como se desea.
Prueba alternativa usando el criterio de Cauchy y la desigualdad del triángulo
Al aplicar el criterio de Cauchy para la convergencia de una serie compleja, también podemos probar este hecho como una simple implicación de la desigualdad del triángulo . [2] Según el criterio de Cauchy , converge si y solo si para alguna , existe tal que para cualquier . Pero la desigualdad del triángulo implica que, así que eso para cualquier , que es exactamente el criterio de Cauchy para .
Prueba de que cualquier serie absolutamente convergente en un espacio de Banach es convergente
El resultado anterior se puede generalizar fácilmente a todos los espacios de Banach ( X , ǁ⋅ǁ) . Deje Σ x n sea una serie absolutamente convergente en X . Comoes una secuencia de Cauchy de números reales, para cualquier ε > 0 y números naturales lo suficientemente grandes m > n se mantiene:
Por la desigualdad del triángulo para la norma ǁ⋅ǁ , inmediatamente se obtiene:
Lo que significa que es una secuencia de Cauchy en X , por lo tanto, la serie es convergente en X . [3]
Reordenamientos y convergencia incondicional
En el contexto general de una serie valorada en G , se hace una distinción entre convergencia absoluta e incondicional, y la afirmación de que una serie real o compleja que no es absolutamente convergente es necesariamente condicionalmente convergente (es decir, no incondicionalmente convergente) es entonces un teorema, no es una definición. Esto es discutido con más detalle abajo.
Dada una serie con valores en un grupo abeliano normado G y una permutación σ de los números naturales, se construye una nueva serie, se dice que es una reordenación de la serie original. Se dice que una serie es incondicionalmente convergente si todos los reordenamientos de la serie son convergentes al mismo valor.
Cuando G es completo, la convergencia absoluta implica una convergencia incondicional:
- Teorema. Dejar Ser un grupo abeliano normalizado completo. Suponer
- .
- Si σ : N → N es cualquier permutación, entonces
El tema de la recíproca es interesante. Para las series reales, del teorema del reordenamiento de Riemann se deduce que la convergencia incondicional implica una convergencia absoluta. Dado que una serie con valores en un espacio normado de dimensión finita es absolutamente convergente si cada una de sus proyecciones unidimensionales es absolutamente convergente, se deduce que la convergencia absoluta e incondicional coinciden para las series valoradas por R n .
Pero hay series incondicionalmente y no absolutamente convergentes con valores en el espacio de Banach ℓ ∞ , por ejemplo:
dónde es una base ortonormal. Un teorema de A. Dvoretzky y C. A. Rogers afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita admite una serie incondicionalmente convergente que no es absolutamente convergente. [4]
Prueba del teorema
Para cualquier ε > 0, podemos elegir algunos, tal que:
Dejar
Finalmente para cualquier entero dejar
Luego
Esto muestra que
es decir:
Productos de serie
El producto de Cauchy de dos series converge al producto de las sumas si al menos una de las series converge absolutamente. Es decir, suponga que
- y .
El producto de Cauchy se define como la suma de los términos c n donde:
Entonces, si bien los unos n o b n suma converge absolutamente, entonces
Convergencia absoluta de integrales
La integral de una función real o de valor complejo se dice que converge absolutamente si También se dice que es absolutamente integrable . La cuestión de la integrabilidad absoluta es intrincada y depende de si se considera la integral de Riemann , Lebesgue o Kurzweil-Henstock (gauge); para la integral de Riemann, también depende de si solo consideramos la integrabilidad en su sentido propio ( y ambas acotadas ), o permitir el caso más general de integrales impropias.
Como propiedad estándar de la integral de Riemann, cuando es un intervalo acotado , toda función continua está acotada y (Riemann) integrable, y dado que continuo implica continua, toda función continua es absolutamente integrable. De hecho, desde ¿Es Riemann integrable en Si es (apropiadamente) integrable y es continuo, se sigue que es propiamente Riemann integrable si es. Sin embargo, esta implicación no se cumple en el caso de integrales impropias. Por ejemplo, la función es incorrectamente integrable por Riemann en su dominio ilimitado, pero no es absolutamente integrable:
- pero
De hecho, de manera más general, dada cualquier serie se puede considerar la función escalonada asociada definido por . Luego converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge según el comportamiento correspondiente de
La situación es diferente para la integral de Lebesgue, que no maneja dominios de integración acotados y no acotados por separado ( ver más abajo ). El hecho de que la integral de no tiene límites en los ejemplos anteriores implica que tampoco es integrable en el sentido de Lebesgue. De hecho, en la teoría de la integración de Lebesgue, dado quees medible , es (Lebesgue) integrable si y solo si es (Lebesgue) integrable. Sin embargo, la hipótesis de quees medible es crucial; En general, no es cierto que funciones absolutamente integrables en son integrables (simplemente porque pueden no ser medibles): dejemos ser un subconjunto no medible y considerar dónde es la función característica de. Luego Lebesgue no es medible y, por tanto, no integrable, sino es una función constante y claramente integrable.
Por otro lado, una función puede ser Kurzweil-Henstock integrable (calibre integrable) mientras no es. Esto incluye el caso de funciones integrables de Riemann incorrectamente.
En un sentido general, en cualquier espacio de medida , la integral de Lebesgue de una función de valor real se define en términos de sus partes positivas y negativas, por lo que los hechos:
- f integrable implica | f | integrable
- f medible, | f | integrable implica f integrable
están esencialmente incorporados en la definición de la integral de Lebesgue. En particular, aplicando la teoría a la medida de conteo en un conjunto S , se recupera la noción de suma desordenada de series desarrollada por Moore-Smith usando (lo que ahora se llama) redes. Cuando S = N es el conjunto de números naturales, la integrabilidad de Lebesgue, la sumabilidad desordenada y la convergencia absoluta coinciden.
Finalmente, todo lo anterior es válido para integrales con valores en un espacio de Banach. La definición de una integral de Riemann valorada en Banach es una modificación evidente de la habitual. Para la integral de Lebesgue, es necesario sortear la descomposición en partes positivas y negativas con el enfoque analítico más funcional de Daniell , obteniendo la integral de Bochner .
Ver también
- Convergencia de la serie de Fourier
- Convergencia condicional
- Modos de convergencia (índice anotado)
- Valor principal de Cauchy
- Teorema de Fubini
- 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + · · ·
- 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·
Referencias
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 179-180.
- ^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 71–72. ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Megginson, Robert E. (1998), Una introducción a la teoría del espacio de Banach , Textos de posgrado en matemáticas, 183 , Nueva York: Springer-Verlag, p. 20, ISBN 0-387-98431-3 (Teorema 1.3.9)
- ^ Dvoretzky, A .; Rogers, CA (1950), "Convergencia absoluta e incondicional en espacios lineales normativos", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 36 : 192-197.
Trabajos citados
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Referencias generales
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Walter Rudin, Principios del análisis matemático (McGraw-Hill: Nueva York, 1964).
- Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541 .
- Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge, Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250 .
- Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .