En la teoría de operadores , el teorema de Gelfand-Mazur es un teorema que lleva el nombre de Israel Gelfand y Stanisław Mazur, que establece que un álgebra de Banach con unidad sobre los números complejos en la que cada elemento distinto de cero es invertible es isométricamente isomorfo a los números complejos , i. e., el único complejo álgebra de Banach que es un álgebra de división es el número complejo C .
El teorema se deriva del hecho de que el espectro de cualquier elemento de un álgebra de Banach compleja no está vacío: para cada elemento a de un álgebra de Banach compleja A hay un número complejo λ tal que λ 1 - a no es invertible. Ésta es una consecuencia de la analiticidad compleja de la función resolutiva . Por supuesto, lambda 1 - un = 0. Por lo tanto un = λ · 1. Esto da un isomorfismo de A a C .
El teorema se puede reforzar a la afirmación de que hay (hasta isomorfismo) exactamente tres álgebras de división reales de Banach: el campo de la reales R , el campo de los números complejos C , y el álgebra de división de cuaterniones H . Este resultado fue probado primero por Stanisław Mazur solo, pero se publicó en Francia sin una prueba, cuando el autor rechazó la solicitud del editor de acortar su prueba. Gelfand (de forma independiente) publicó una prueba del complejo caso unos años más tarde.
Referencias
- Bonsall, Frank F .; Duncan, John (1973). Álgebras normativas completas . Saltador. págs. 71–4. doi : 10.1007 / 978-3-642-65669-9 . ISBN 978-3-642-65671-2.
- Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .