Representación Gelfand
En matemáticas , la representación de Gelfand en análisis funcional (llamada así por IM Gelfand ) es una de dos cosas:
En el primer caso, se puede considerar la representación de Gelfand como una generalización de gran alcance de la transformada de Fourier de una función integrable. En el último caso, el teorema de representación de Gelfand-Naimark es una vía en el desarrollo de la teoría espectral para operadores normales y generaliza la noción de diagonalizar una matriz normal .
Una de las aplicaciones originales de Gelfand (y que históricamente motivó gran parte del estudio de las álgebras de Banach [ cita requerida ] ) fue dar una prueba mucho más breve y más conceptual de un célebre lema de Norbert Wiener (ver la cita a continuación), caracterizando los elementos de las álgebras de grupo L 1 ( R ) y cuyas traducciones abarcan subespacios densos en las respectivas álgebras.
Para cualquier espacio topológico X de Hausdorff localmente compacto , el espacio C 0 ( X ) de funciones continuas de valores complejos en X que se anulan en el infinito es, de forma natural, un álgebra C* conmutativa:
La importancia de que X sea localmente compacto y de Hausdorff es que esto convierte a X en un espacio completamente regular . En tal espacio, cada subconjunto cerrado de X es el conjunto cero común de una familia de funciones continuas de valores complejos en X , lo que permite recuperar la topología de X de C 0 ( X ).
Tenga en cuenta que C 0 ( X ) es unital si y solo si X es compacto , en cuyo caso C 0 ( X ) es igual a C ( X ), el álgebra de todas las funciones continuas de valores complejos en X .