En matemáticas , se dice que una función se desvanece en el infinito si sus valores se acercan a 0 a medida que la entrada crece sin límites. Hay dos formas diferentes de definir esto con una definición que se aplica a funciones definidas en espacios vectoriales normalizados y la otra se aplica a funciones definidas en espacios localmente compactos . Aparte de esta diferencia, ambas nociones corresponden a la noción intuitiva de agregar un punto en el infinito y requerir que los valores de la función se acerquen arbitrariamente a cero a medida que uno se acerca. Esta definición se puede formalizar en muchos casos agregando un punto (real) en el infinito .
Definiciones
Se dice que una función en un espacio vectorial normalizado desaparece en el infinito si la función se acerca a medida que la entrada crece sin límites (es decir, como ). O,
Por ejemplo, la función
definido en la línea real se desvanece en el infinito. Lo mismo se aplica a la función
dónde y son reales y corresponden al punto en [1]
Alternativamente, una función en un espacio localmente compacto se desvanece en el infinito , si se le da un número positivo ε , existe un subconjunto compacto tal que
siempre que el punto se encuentra fuera de [2] [3] [4] En otras palabras, para cada número positivo ε el conjuntoes compacto. Para un espacio localmente compacto dadoel conjunto de tales funciones
valorado en que es o o forma un - espacio vectorial con respecto a la multiplicación y suma escalares puntuales , que a menudo se denota
Un espacio normado es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita, por lo que en este caso particular, hay dos definiciones diferentes de una función "que se desvanece en el infinito". Las dos definiciones pueden ser incompatibles entre sí: sien un espacio de Banach de dimensión infinita , entonces desaparece en el infinito por el definición, pero no por la definición de conjunto compacto.
Disminuyendo rápidamente
Al refinar el concepto, se puede observar más de cerca la tasa de desaparición de funciones en el infinito. Una de las intuiciones básicas del análisis matemático es que la transformada de Fourier intercambia condiciones de suavidad con condiciones de velocidad al desaparecer en el infinito. Las funciones de prueba rápidamente decrecientes de la teoría de la distribución templada son funciones suaves que son
para todos , como , y tal que todas sus derivadas parciales también satisfagan la misma condición. Esta condición se establece para ser auto-dual bajo la transformada de Fourier, de modo que la teoría de distribución correspondiente de distribuciones templadas tendrá la misma propiedad.
Ver también
- Infinito - Concepto matemático
- Línea real proyectada extendida
- Cero de una función : elemento del dominio donde el valor de la función es cero
Citas
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Desaparecer" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
- ^ "Función que se desvanece en el infinito - Enciclopedia de las matemáticas" . www.encyclopediaofmath.org . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
- ^ "desapareciendo en el infinito en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
- ^ "desaparecer en el infinito" . planetmath.org . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
Referencias
- Hewitt, E y Stromberg, K (1963). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )