En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , los espacios de Tychonoff y los espacios completamente regulares son tipos de espacios topológicos . Estas condiciones son ejemplos de axiomas de separación .
Axiomas de separación en espacios topológicos | |
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Clasificación de Kolmogorov | |
T 0 | (Kolmogorov) |
T 1 | (Fréchet) |
T 2 | (Hausdorff) |
T 2 ½ | (Urysohn) |
completamente T 2 | (completamente Hausdorff) |
T 3 | (Hausdorff regular) |
T 3½ | (Tychonoff) |
T 4 | (Hausdorff normal) |
T 5 | ( Hausdorff completamente normal ) |
T 6 | ( Hausdorff perfectamente normal ) |
Los espacios de Tychonoff llevan el nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff , cuyo nombre ruso (Тихонов) se traduce de diversas maneras como "Tychonov", "Tikhonov", "Tihonov", "Tichonov", etc., quien los introdujo en 1930 para evitar la situación patológica de Hausdorff. espacios cuyas únicas funciones continuas de valor real son mapas constantes. [1]
Definiciones
Un espacio topológico se llama completamente regular exactamente en el caso de que los puntos se puedan separar de los conjuntos cerrados mediante funciones continuas de valor real (acotadas). En términos técnicos, esto significa: para cualquier conjunto cerrado y cualquier punto existe una función continua de valor real tal que y (De manera equivalente, uno puede elegir dos valores cualesquiera en lugar de y e incluso exigir que ser una función acotada.)
Un espacio topológico se llama un espacio Tychonoff (alternativamente: T 3½ espacio , o T π espacio , o completamente T 3 espacio ) si es un totalmente regular espacio de Hausdorff .
Observación. Los espacios completamente regulares y los espacios de Tychonoff se relacionan mediante la noción de equivalencia de Kolmogorov . Un espacio topológico es Tychonoff si y solo si es completamente regular y T 0 . Por otro lado, un espacio es completamente regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es Tychonoff.
Convenciones de nombres
En toda la literatura matemática se aplican diferentes convenciones cuando se trata del término "completamente regular" y los axiomas "T". Las definiciones en esta sección son de uso moderno típico. Algunos autores, sin embargo, cambian los significados de los dos tipos de términos o usan todos los términos indistintamente. En Wikipedia, los términos "completamente regular" y "Tychonoff" se usan libremente y la notación "T" generalmente se evita. En la literatura estándar, por lo tanto, se recomienda precaución para averiguar qué definiciones está utilizando el autor. Para obtener más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación .
Ejemplos y contraejemplos
Casi todos los espacios topológicos estudiados en el análisis matemático son Tychonoff, o al menos completamente regulares. Por ejemplo, la línea real es Tychonoff bajo la topología euclidiana estándar . Otros ejemplos incluyen:
- Cada espacio métrico es Tychonoff; cada espacio pseudométrico es completamente regular.
- Cada espacio regular localmente compacto es completamente regular y, por lo tanto, cada espacio localmente compacto de Hausdorff es Tychonoff.
- En particular, cada variedad topológica es Tychonoff.
- Cada conjunto totalmente ordenado con la topología de orden es Tychonoff.
- Cada grupo topológico es completamente regular.
- Generalizando tanto los espacios métricos como los grupos topológicos, todo espacio uniforme es completamente regular. Lo contrario también es cierto: todo espacio completamente regular es uniformisible.
- Cada complejo de CW es Tychonoff.
- Cada espacio regular normal es completamente regular, y cada espacio normal de Hausdorff es Tychonoff.
- El plano de Niemytzki es un ejemplo de un espacio de Tychonoff que no es normal .
Propiedades
Preservación
La regularidad completa y la propiedad de Tychonoff se comportan bien con respecto a las topologías iniciales . Específicamente, la regularidad completa se conserva tomando topologías iniciales arbitrarias y la propiedad de Tychonoff se conserva tomando topologías iniciales de separación de puntos. Resulta que:
- Cada subespacio de un espacio completamente regular o de Tychonoff tiene la misma propiedad.
- Un espacio de producto no vacío es completamente regular (respectivamente Tychonoff) si y solo si cada espacio de factores es completamente regular (respectivamente Tychonoff).
Como todos los axiomas de separación, la regularidad completa no se conserva tomando topologías finales . En particular, los cocientes de espacios completamente regulares no necesitan ser regulares . Los cocientes de los espacios de Tychonoff ni siquiera necesitan ser Hausdorff . Hay cocientes cerrados del plano de Moore que proporcionan contraejemplos.
Funciones continuas de valor real
Para cualquier espacio topológico X , sea C ( X ) la familia de funciones continuas de valor real en X y sea C b ( X ) el subconjunto de funciones continuas de valor real acotadas .
Los espacios completamente regulares se pueden caracterizar por el hecho de que su topología está completamente determinada por C ( X ) o C b ( X ). En particular:
- Un espacio X es completamente regular si y solo si tiene la topología inicial inducida por C ( X ) o C b ( X ).
- Un espacio X es completamente regular si y solo si cada conjunto cerrado puede escribirse como la intersección de una familia de conjuntos cero en X (es decir, los conjuntos cero forman una base para los conjuntos cerrados de X ).
- Un espacio X es totalmente regular si y sólo si los conjuntos cozero de X forman una base para la topología de X .
Dado un espacio topológico arbitrario ( X , τ), existe una forma universal de asociar un espacio completamente regular con ( X , τ). Sea ρ la topología inicial en X inducida por C τ ( X ) o, de manera equivalente, la topología generada por la base de conjuntos cozero en ( X , τ). Entonces ρ será la mejor topología totalmente regular en X que es más gruesa que τ. Esta construcción es universal en el sentido de que cualquier función continua
a un espacio completamente regular Y será continuo en ( X , ρ). En el lenguaje de la teoría de categorías , el functor que envía ( X , τ) a ( X , ρ) se deja adjunto al functor de inclusión CReg → Top . Así, la categoría de espacios completamente regulares CReg es una subcategoría reflectante de Top , la categoría de espacios topológicos . Al tomar los cocientes de Kolmogorov , se ve que la subcategoría de espacios de Tychonoff también es reflexiva.
Se puede mostrar que C τ ( X ) = C ρ ( X ) en la construcción anterior, de modo que los anillos C ( X ) y C b ( X ) generalmente solo se estudian para espacios X completamente regulares .
La categoría de espacios de Tychonoff compactos reales es anti-equivalente a la categoría de los anillos C ( X ) (donde X es compactos reales) junto con los homomorfismos de anillos como mapas. Por ejemplo, se puede reconstruir X a partir de C ( X ) cuando X es (real) compacto. Por tanto, la teoría algebraica de estos anillos es objeto de intensos estudios. Una gran generalización de esta clase de anillos que todavía se asemeja a muchas propiedades de los espacios de Tychonoff, pero que también es aplicable a la geometría algebraica real , es la clase de anillos cerrados reales .
Embeddings
Los espacios de Tychonoff son precisamente aquellos espacios que pueden integrarse en espacios compactos de Hausdorff . Más precisamente, para cada espacio Tychonoff X , existe un compacto Hausdorff espacio K tal que X es homeomorfo a un subespacio de K .
De hecho, siempre se puede elegir que K sea un cubo de Tychonoff (es decir, un producto posiblemente infinito de intervalos unitarios ). Cada cubo de Tychonoff es Hausdorff compacto como consecuencia del teorema de Tychonoff . Dado que cada subespacio de un espacio compacto de Hausdorff es Tychonoff, uno tiene:
- Un espacio topológico es Tychonoff si y solo si se puede incrustar en un cubo de Tychonoff .
Compactificaciones
De particular interés son aquellas incrustaciones donde la imagen de X es densa en K ; éstos se llaman Hausdorff compactificaciones de X . Dado cualquier incrustación de un espacio Tychonoff X en un compacto Hausdorff espacio K el cierre de la imagen de X en K es un compactificación de X . En el mismo artículo de 1930 donde Tychonoff definió espacios completamente regulares, también demostró que cada espacio de Tychonoff tiene una compactación de Hausdorff. [2]
Entre esos compactificaciones Hausdorff, hay una única "más general" uno, el de Stone-Čech compactificación β X . Se caracteriza por la propiedad universal que, dada una aplicación continua f de X a cualquier otro espacio compacto Hausdorff Y , hay una única aplicación continua g de β X a Y que se extiende f en el sentido de que f es la composición de g y j .
Estructuras uniformes
La regularidad completa es exactamente la condición necesaria para la existencia de estructuras uniformes en un espacio topológico. En otras palabras, cada espacio uniforme tiene una topología completamente regular y cada espacio X completamente regular es uniforme . Un espacio topológico admite una estructura uniforme separada si y solo si es Tychonoff.
Dado un espacio totalmente regular X por lo general hay más de una uniformidad en X que es compatible con la topología de X . Sin embargo, siempre habrá una uniformidad compatibles fino, llamado la uniformidad bien en X . Si X es Tychonoff, entonces la estructura uniforme puede ser elegido de modo que β X se convierte en la finalización del espacio uniforme X .
Citas
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 240.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
Bibliografía
- Gillman, Leonard ; Jerison, Meyer (1960). Anillos de funciones continuas . Textos de Posgrado en Matemáticas, No. 43 (Reimpresión de Dover ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. xiii. ISBN 978-048681688-3.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Willard, Stephen (1970). Topología general (reimpresión de Dover ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-486-43479-6.