El teorema de Gell-Mann y Low es un teorema de la teoría cuántica de campos que permite relacionar el estado fundamental (o vacío) de un sistema que interactúa con el estado fundamental de la teoría no interactiva correspondiente. Fue probado en 1951 por Murray Gell-Mann y Francis E. Low . El teorema es útil porque, entre otras cosas, al relacionar el estado fundamental de la teoría que interactúa con su estado fundamental que no interactúa, permite expresar las funciones de Green (que se definen como valores esperados de los campos de la imagen de Heisenberg en el vacío que interactúa). ) como valores esperados de la imagen de interaccióncampos en el vacío que no interactúa. Si bien se aplica típicamente al estado fundamental, el teorema de Gell-Mann y Low se aplica a cualquier estado propio del hamiltoniano. Su prueba se basa en el concepto de comenzar con un hamiltoniano que no interactúa y encender adiabáticamente las interacciones.
Historia
El teorema fue probado por primera vez por Gell-Mann y Low en 1951, haciendo uso de la serie de Dyson . En 1969, Klaus Hepp proporcionó una derivación alternativa para el caso en el que el hamiltoniano original describe partículas libres y la interacción está limitada por normas. En 1989, Nenciu y Rasche lo demostraron utilizando el teorema adiabático . Molinari dio en 2007 una prueba que no se basa en la expansión de Dyson.
Declaración del teorema
Dejar ser un estado propio de con energia y dejar que el hamiltoniano 'interactuando' sea , dónde es una constante de acoplamiento y el término de interacción. Definimos a un hamiltoniano que interpola efectivamente entre y en el limite y . Dejardenotar el operador de evolución en la imagen de interacción . El teorema de Gell-Mann y Low afirma que si el límite como de
existe, entonces son estados propios de .
Tenga en cuenta que cuando se aplica a, digamos, el estado fundamental, el teorema no garantiza que el estado evolucionado sea un estado fundamental. En otras palabras, no se excluye el paso a nivel.
Prueba
Como en el artículo original, el teorema se demuestra típicamente haciendo uso de la expansión de Dyson del operador de evolución. Sin embargo, su validez se extiende más allá del alcance de la teoría de la perturbación, como ha demostrado Molinari. Seguimos el método de Molinari aquí. Concentrarse en y deja . De la ecuación de Schrödinger para el operador de evolución temporal
y la condición de frontera podemos escribir formalmente
Concéntrate por el momento en el caso . A través de un cambio de variables podemos escribir
Por lo tanto tenemos eso
Este resultado se puede combinar con la ecuación de Schrödinger y su adjunto
para obtener
La ecuación correspondiente entre es el mismo. Se puede obtener pre-multiplicando ambos lados con, post-multiplicar con y haciendo uso de
El otro caso que nos interesa, a saber puede tratarse de manera análoga y produce un signo menos adicional delante del conmutador (no nos ocupamos aquí del caso en el que tienen signos mixtos). En resumen, obtenemos
Procedemos para el caso de tiempos negativos. Abreviando los distintos operadores para mayor claridad
Ahora usando la definición de diferenciamos y eliminamos derivadas usando la expresión anterior, encontrando
dónde . Ahora podemos dejar como por supuesto el en el lado izquierdo es finito. Entonces vemos claramente que es un estado propio de y la prueba está completa.